Cos'è il teorema di Bayes e quali sono le sue applicazioni

Il teorema di Bayes è anche conosciuto come teorema della probabilità delle cause, perché ci aiuta nel calcolo delle probabilità di una causa di provocare l’evento che si è verificato. Ad esempio, attraverso questo teorema è possibile calcolare la probabilità che una persona che ha eseguito un test diagnostico soffra o meno della malattia per cui ha eseguito quello stesso test.

Si tratta di uno dei teoremi più importanti per il calcolo delle probabilità, studiato nella prima metà del 1700 e poi utilizzato nel calcolo della probabilità condizionata. Scopriamo insieme di cosa si tratta e, soprattutto, quali sono le sue applicazioni nella matematica e nella vita quotidiana!

• Teorema di Bayes
• La formula del teorema di Bayes
• La dimostrazione del teorema di Bayes
• Applicazione del teorema di Bayes
• Il problema di Monty Hall e il teorema di Bayes

Teorema di Bayes

Il teorema di Bayes è molto importante nel calcolo delle probabilità perché serve a ricercare la probabilità che un evento sia la causa di un risultato che è stato osservato. Quindi permette una ricerca a posteriori delle cause di un evento che si è verificato.

Il teorema di Bayes si trova in molte applicazioni della vita reale, ad esempio nel campo medico per la ricerca dei falsi positivi in una particolare analisi, oppure per verificare l’effettiva efficacia di un farmaco.

Nel nostro video troverai la spiegazione e la dimostrazione del teorema di Bayes.

In particolare, l’enunciato del teorema di Bayes ci dice che: Siano £$E, F$£ due eventi con probabilità non nulle, la probabilità condizionata di £$E$£ rispetto a £$F$£ sarà uguale al prodotto tra la probabilità condizionata di £$F$£ rispetto a £$E$£ e la probabilità di £$E$£ fratto la probabilità di £$F$£.

La formula del teorema di Bayes

Tutto ciò che abbiamo appena enunciato, possiamo tradurlo in una formula pratica che è poi stata rinominata come formula di Bayes:

$$P(E|F)= \frac{P(E|F)\cdot P(E)}{P(F)}$$

Sempre ricordando che, soprattutto per l’applicazione di questa formula è necessario che £$P(E),P(F) ≠ 0$£

La formula di Bayes deriva dalla definizione di ciò che è la probabilità condizionata e dal teorema della probabilità composta.

Proviamo a vedere insieme come è possibile dimostrare questo teorema in poche e semplici mosse!

La dimostrazione del teorema di Bayes

Abbiamo già definito che la probabilità di E ed F non è nulla, quindi £$P(E),P(F) ≠ 0$£. La probabilità condizionata di £$E$£ rispetto a £$F$£ per definizione sarà uguale al rapporto tra la probabilità dell’evento intersezione £$E ∩ F$£ e la probabilità di £$F$£.

Quindi, avremo che:

$$P(E|F) = \frac {P(E∩F)}{P(F)}$$

£$P(E∩F) $£ è la probabilità composta degli eventi E ed F. Possiamo quindi far riferimento al teorema della probabilità composta e possiamo definirla come il prodotto tra la probabilità condizionata di F rispetto ad E e la probabilità di E, quindi la nostra formula evolverà in questo modo:

$$P(E|F) = \frac{P(E∩F)\cdot P(E)}{P(F)} $$

Ė proprio così che è possibile ricavare la formula di Bayes!

Applicazione del teorema di Bayes

Esercizio svolto: 1° metodo

Esercizio svolto: 2° metodo

Il teorema di Bayes è molto importante. Ma a cosa serve? Qui vedrai l’applicazione e l’utilizzo del teorema di Bayes in un esercizio svolto. Nei due video, troverai lo stesso esercizio ma risolto in due modi diversi, che ovviamente portano alla stessa soluzione (sono cioè equivalenti).

Scegli tu quale metodo preferisci!

Il problema di Monty Hall e il teorema di Bayes

Il gioco di Monty Hall

Soluzione matematica

Il problema di Monty Hall, conosciuto anche come paradosso di Monty Hall, è il gioco finale dello show "Let’s make a deal" condotto, per l’appunto, da Monty Hall.

È diventato famoso perché è un esercizio di probabilità condizionata che è controintuitivo. Infatti, senza sapere il teorema di Bayes e della probabilità condizionata, siamo portati a rispondere in maniera sbagliata, facendo diminuire le probabilità di vincere. È quindi un esempio importante perché mostra l’importanza del calcolo delle probabilità nel prendere decisioni che influenzano il futuro.

Vediamo meglio di cosa si tratta: il problema di Monty Hall o paradosso di Monty Hall è un enigma che è stato fatto dal presentatore del tv Show Let’s make a deal. Lo scopo dello show era quello di far stringere degli accordi ai concorrenti con lo stesso Monty Hall.

Il gioco realizzato dal presentatore è in realtà molto semplice: il concorrente si trova davanti a tre porte chiuse. Dietro una di queste porte potrà trovare una automobile, mentre dietro le altre due ci sono delle capre.

All’inizio del gioco, il giocatore può scegliere liberamente tra una delle tre porte. A questo punto, la porta scelta rimane chiusa ma viene aperta una delle due porte che non erano state scelte; in particolare, viene aperta una di quelle contenenti una capra.

A questo punto del gioco, il giocatore può decidere di cambiare la propria scelta e cambiare porta, oppure proseguire con quella scelta inizialmente. Secondo le regole matematiche, arrivati a questo punto bisognerebbe cambiare porta: la probabilità di scegliere correttamente al primo colpo è del 33%, cioè 1 su 3. Cambiando però la propria scelta, la probabilità salirebbe al 66%, cioè si avrebbero 2 possibilità su 3.

Le soluzioni sono diverse e possono essere spiegate in questo modo:

• se il giocatore ha scelto una porta con dietro la prima capra, dopo che il conduttore avrà mostrato la seconda capra, al giocatore converrà cambiare porta per vincere l’automobile;
• se il giocatore ha scelto una porta con dietro la seconda capra, dopo che il conduttore avrà mostrato la prima, anche in questo caso il giocatore cambiando la propria scelta potrà vincere l’automobile;
• se il giocatore avrà scelto al primo colpo la porta con l’automobile dietro, è solo in questo caso che la sua scelta dovrà restare invariata!

In questo caso, è importante non farsi trarre in inganno: il conduttore mostra sempre una delle porte dietro le quali c’è una capra, per cui la sua azione è ininfluente e non può avere il potere di cambiare le cose.

Però, essendoci due capre ed una sola automobile, la probabilità di compiere una scelta sbagliata all’inizio del gioco è comunque pari a 2 su 3 ed è proprio per questo che, cambiando la propria scelta, aumentano le possibilità di vincere l’auto.

Scopri nel nostro video come calcolare matematicamente e con il teorema di Bayes la soluzione matematica a questo gioco!