Formulario di probabilità: tutte le formule complete
Ti stai chiedendo come risolvere un esercizio di probabilità? Non temere, ti aiutiamo noi!
In questa lezione troverai tutte le formule di probabilità che ti servono per fare gli esercizi!
In questa lezione puoi ripassare le formule di probabilità che ti servono per risolvere gli esercizi. In particolare impareremo:
- formula per calcolare la probabilità classica;
- formula per la probabilità dell’unione di eventi;
- formula per la probabilità dell’intersezione di eventi;
- formula della probabilità condizionata e teorema di Bayes.
- Tabella di probabilità
- Formula probabilità classica
- Formula probabilità dell'unione di eventi
- Formula probabilità condizionata
- Teorema di Bayes
- Eventi compatibili e incompatibili
- Probabilità dell'intersezione di due eventi
- Probabilità dell'unione di due eventi
- Formula probabilità intersezione di eventi
Cos’è la probabilità
Prima di andare nel dettaglio delle formule, cerchiamo di ricordare cos’è una probabilità e perché le usiamo in matematica e nella vita quotidiana. Nel calcolo delle probabilità ogni evento è associato ad un numero conosciuto anche come probabilità dell’evento stesso.
Questo numero ci aiuta a comprendere quanto è possibile che quell’evento si verifichi realmente. Ad esempio, a tutti sarà capitato almeno una volta di lanciare delle monetine per aria e sperare nella testa o nella croce.
Quando lanciamo la monetina, abbiamo due possibilità: potrebbe uscire testa oppure croce e non ci sono altre alternative possibili. Proprio per questo, possiamo dire che la probabilità che esca uno dei due risultati è pari al 50%, che è la probabilità dell’evento: rappresenta la probabilità che l’evento accada realmente.
In matematica, la probabilità è definita come il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili, supponendo che tutti siano possibili allo stesso modo.
Tabella di probabilità
Stampa questa immagine e portala sempre con te, così potrai ripassare facilmente la probabilità!
Formula probabilità classica
La formula per calcolare la probabilità di un evento £$E$£ secondo la probabilità classica è:
£$P(E)=\frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}}$£
Da questa formula seguono i seguenti assiomi della probabilità classica:
- £$0 \le P(E) \le 1$£
- £$P(\text{evento impossibile})=0$£
- £$P(\text{evento certo})=1$£
- £$P(\overline{E})=1-P(E)$£ con £$\overline{E}$£ evento contrario dell’evento £$E$£.
Formula probabilità dell’unione di eventi
Dati due eventi £$A$£ e £$B$£ l’evento unione £$A\cup B$£ si verifica se si verifica £$A$£ o £$B$£ o entrambi. La formula per calcolare la probabilità di £$A \cup B$£ è
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
dove £$A\cap B$£ è l’evento intersezione che si verifica se si verificano sia £$A$£ che £$B$£.
Se £$A$£ e £$B$£ sono incompatibili, cioè se £$P(A\cap B)=0$£ allora la formula della probabilità dell’evento £$A\cup B$£ diventa
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$
che è uno degli assiomi della probabilità classica.
Formula probabilità condizionata
Dati due eventi £$A$£ e £$B$£, l’evento £$B|A$£ (£$B$£ condizionato ad £$A$£) si verifica se si verifica £$B$£ sapendo che si è già verificato £$A$£.
La formula della probabilità condizionata è
$$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$
dove £$P(A\cap B)$£ è la probabilità dell’evento intersezione.
Teorema di Bayes
Dati due eventi £$A$£ e £$B$£, il teorema di Bayes permette di calcolare la probabilità condizionata usando la formula
$$P(B|A)=\frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)}$$
o, equivalentemente,
$$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$$
Eventi compatibili e incompatibili
Due eventi sono compatibili se possono verificarsi contemporaneamente.
Esempio: £$A$£: “Dal lancio di un dado esce un numero pari" e £$B$£: “Dal lancio di un dado esce il numero £$2$£" sono compatibili.
Due eventi sono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente.
Esempio: £$A$£: “Dal lancio di un dado esce un numero pari" e £$B$£: “Dal lancio di un dado esce un numero dispari"
Probabilità dell’intersezione di due eventi
La probabilità dell’intersezione è la probabilità che si verifichino due o più eventi contemporaneamente.
Esempio:
- £$A$£: “Dal lancio di un dado esce un numero pari" e £$B$£: “Dal lancio di un dado esce il numero 2"
£$P(A\cap{B}) =\dfrac {1}{6} $£ perché £$A$£ e £$B$£ sono compatibili. - £$A$£: “Dal lancio di un dado esce un numero pari" e £$B$£: “Dal lancio di un dado esce un numero dispari"
£$P(A\cap{B}) = 0$£ perché £$A$£ e £$B$£ sono incompatibili.
Probabilità dell’unione di due eventi
La probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi è la probabilità dell’evento unione.
Chiamiamo £$A$£ e £$B$£ i due eventi, calcoliamo la probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi:
£$P(A\cup {B}) = P(A) + P(B)$£ se i due eventi sono incompatibili;
£$P(A\cup{B}) = P(A) + P(B) – P(A\cap{ B})$£ se i due eventi sono compatibili.
Formula probabilità intersezione di eventi
Per calcolare la formula dell’evento intersezione £$A \cap B$£ usiamo la formula della probabilità condizionata
$$P(A \cap B)=P(A|B)\cdot P(B)$$ $$P(A \cap B)=P(B|A)\cdot P(A)$$
Se i due eventi sono indipendenti allora vale la formula £$P(A \cap B)= P(A)\cdot P(B)$£.
Ora prova ad esercitarti e a calcolare le probabilità!