I monomi e le espressioni letterali: definizione

Il monomio è una espressione letterale in cui non compare l’addizione algebrica.

Le espressioni letterali ci aiutano a esprimere formule e concetti matematici in modo univoco, semplificando la spiegazione a parole che risulterebbe più lunga.

A cosa servono le espressioni letterali? Prova ad aprire il tuo libro di geometria e cerca le formule delle aree dei poligoni. Come sono scritte? Usando delle lettere! Con le espressioni letterali possiamo scrivere in modo compatto concetti matematici più complessi da spiegare a parole.

Impara tutto quello che c’è da sapere sui monomi con le nostre videolezioni e mettiti alla prova con gli esercizi spiegati!

• Cos'è un monomio
• Che cos'è un espressione letterale
• Il valore delle espressioni letterali
• I monomi
• Monomi in forma normale
• Il grado di un monomio

Cos’è un monomio

Osserviamo per esempio la formula per calcolare l’area di un rettangolo: £$ \text{base } \cdot \text{ altezza} = b \cdot h $£. È un monomio!

I monomi sono sempre composti da coefficiente numerico e parte letterale e hanno diverse caratteristiche: una di queste è il grado. Per calcolare il grado di un monomio, ricordati prima di ridurlo in forma normale!

Che cos’è un espressione letterale

Nel reparto “frutta & verdura” del supermercato:

• Mara compra £$ 5 $£ mele, £$ 20 $£ ciliegie e £$ 2 $£ banane
• Carlo compra £$ 3 $£ confezioni da £$ 4 $£ kiwi

È molto più semplice e rapido utilizzare dei simboli per rappresentare il contenuto dei cestini di Mara e Carlo!

• cestino di Mara = £$ 5\cdot m + 20\cdot c + 2\cdot b $£
• cestino di Carlo = £$ 3\cdot(4\cdot k) $£

Possiamo rappresentare i cestini in una forma ancora più semplificata, senza scrivere il simbolo di moltiplicazione tra numeri e lettere.

• cestino di Mara = £$ 5m + 20c + 2b $£
• cestino di Carlo = £$ 3\cdot(4k) $£

Queste sono espressioni letterali, fatte da lettere e numeri “collegati” tra loro con le operazioni che già conosci: somma algebrica, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza.

Anche queste sono espressioni letterali:

£$ \dfrac{1}{2} ab $£, £$\quad -7 x + 5t $£, £$\quad \dfrac{3}{s} $£, £$\quad 8y^3 z^2 $£

E queste sono alcune delle espressioni letterali che hai già incontrato in geometria:

£$ \dfrac{b\cdot h}{2} $£, £$\quad \dfrac{2\cdot A}{b+B} $£, £$\quad \sqrt{a^2+b^2} $£

Il valore delle espressioni letterali

Forse non lo sai, ma ti è sicuramente già capitato di valutare un’espressione letterale.

Per esempio come si fa a calcolare l’area di un trapezio?
Hai bisogno di conoscere la misura della base maggiore, £$B$£, della base minore, £$b$£ e dell’altezza £$h$£!
Poi calcoli il valore dell’espressione £$\frac{(b + B)\cdot h} {2}$£.

Ad esempio se £$B=10, b=5, h=4$£ allora sostituisci il valore delle lettere nell’espressione e ottieni il valore dell’area:

£$\frac{(5 + 10)\cdot 4} {2}= 30$£

Se conosci il valore delle lettere puoi valutare una qualsiasi espressione letterale, cioè puoi scoprire il valore di un’espressione letterale conoscendo il valore dei suoi termini.

I monomi

Le espressioni letterali più semplici si chiamano monomi. Il monomio è una espressione letterale in cui non compare l’addizione algebrica.

£$ \frac{1}{2} ab $£, £$ \quad -7 x $£, £$\quad 8y^3 z^2 $£, £$ \quad t^2 $£ sono monomi.

Un monomio è composto da:

• un coefficiente numerico
• una parte letterale

Il coefficiente numerico può essere un numero positivo oppure negativo, può essere un numero intero, una frazione o un numero decimale. Può anche essere il numero £$ 0 $£!

£$ 0a^2b^3 $£ è un monomio, equivale a scrivere £$ 0 $£:
£$ 0a^2b^3 = 0 $£

Se il coefficiente numerico è £$ 1 $£ possiamo scrivere £$ x^4y $£ invece di £$ 1x^4y $£. Se il coefficiente numerico è £$ -1 $£ possiamo scrivere £$ -st^2 $£ invece di £$ -1st^2 $£.

La parte letterale è il prodotto di lettere, ognuna con il proprio esponente.

Attenzione! Anche £$ -4 $£ è un monomio: immagina che il numero £$ -4 $£ sia seguito da lettere con esponente £$ 0 $£. Infatti sai che, quando elevi un numero (diverso da zero) o una lettera alla £$ 0 $£, il risultato è £$ 1 $£.

£$ 2^0 = 1 $£ e anche £$ x^0 = 1 $£. Quindi £$ -4= -4x^0$£.

Riconosciamo un monomio perché sono presenti solo moltiplicazioni o divisioni tra coefficiente numerico e parte letterale.

Un monomio può essere:

• intero: le lettere compaiono solo al numeratore
• frazionario: almeno una delle lettere compare al denominatore.

Monomi in forma normale

A scuola userai i monomi scritti in forma normale, ma che cosa vuol dire?
Un monomio in forma normale è composto dal prodotto tra un solo numero e una o più lettere diverse, con un certo esponente.

Per esempio, la forma normale del monomio £$ 3mtvt4m $£ è £$ 12m^2t^2v $£.

I monomi £$ 2x $£ e £$ -\frac{6}{5}x $£ sono monomi simili perché hanno la stessa parte letterale: entrambi infatti sono formati da un numero seguito dalla lettera £$ x $£.

Anche £$ 3x^5y^3 $£ e £$ -3x^5y^3 $£ sono monomi simili perché hanno le stesse lettere e con lo stesso esponente! Ma sono anche opposti! Infatti, hanno la stessa parte letterale e il coefficiente numerico £$ 3 $£ è il numero opposto al coefficiente numerico £$ – 3 $£.

Il grado di un monomio

Che cos’è il grado di un monomio?

Prendiamo il monomio £$ 5x^3 $£: il suo grado è £$ 3 $£ perché £$ 3 $£ è l’esponente della lettera £$ x $£.

Ma allora qual è il grado del monomio £$ 2a^2b^4 $£?

Rispetto alla lettera £$ a $£ il grado è £$ 2 $£, perché £$ 2 $£ è l’esponente della lettera £$ a $£.

Rispetto alla lettera £$ b $£ il grado è £$ 4 $£, perché £$ 4 $£ è l’esponente della lettera £$ b $£.

Il grado complessivo del monomio è £$ 2 + 4 = 6 $£. Cioè è uguale alla somma degli esponenti di tutte le lettere che compaiono nel monomio.

Qual è il grado del monomio £$ -11x $£?

Ricorda che £$ x=x^1 $£: allora il grado del monomio è £$ 1 $£.

Qual è il grado del monomio £$ \frac{3}{7} $£?

Ricorda che puoi immaginare che £$ \frac{3}{7} $£ sia seguito da lettere con esponente £$ 0 $£, quindi il grado del monomio è £$ 0 $£. Possiamo pensare a tutti i numeri come monomi di grado £$ 0 $£.