Cosa sono i monomi: definizione e spiegazione
Un monomio è essenzialmente un’espressione matematica che rappresenta il prodotto di numeri e variabili, queste ultime spesso rappresentate da lettere come x, y o z, che possono assumere diversi valori numerici. Possono esistere da soli o essere combinati con altri monomi e polinomi – espressioni composte da più termini – per formare strutture matematiche più elaborate.
La struttura di un monomio include un coefficiente, che è la parte numerica, e una o più parti variabili, ognuna elevata a un esponente, che è un numero intero non negativo. Questa configurazione fornisce un’enorme varietà di espressioni possibili, anche da monomi apparentemente semplici. Ad esempio, £$3x^2y$£ è un monomio con il coefficiente 3, una variabile x elevata al quadrato, e una variabile y elevata alla prima potenza (anche se l’esponente 1 solitamente non viene scritto).
Un concetto fondamentale associato ai monomi è quello di grado, che è la somma degli esponenti delle sue variabili. Questo concetto è cruciale perché ordina i monomi all’interno di un polinomio e aiuta a determinare la complessità dell’espressione. Per esempio, il grado del monomio £$3x^2y$£ è 3, dato dalla somma degli esponenti di x e y.
I monomi non solo servono a costruire polinomi, ma giocano anche un ruolo essenziale in operazioni come la somma, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione di espressioni algebriche. La loro manipolazione seguendo regole ben definite permette agli studenti e ai matematici di risolvere equazioni, semplificare espressioni e persino modellare situazioni reali in termini matematici.
Vediamoli insieme.
- Cos'è il calcolo letterale dei numeri
- Le espressioni letterali più semplici: i monomi
- Cosa sono i monomi in forma normale
- Come si calcola il grado di un monomio
- Interrogazione sui monomi
- Sfida sui monomi
Cos’è il calcolo letterale dei numeri
Quando leghi dei numeri ad altri numeri o a delle lettere con uno o più simboli di operazione crei quello che in matematica si chiama un’espressione algebrica. Per esempio £$2a$£ oppure £$\frac{7x}{9ax+2}$£ sono espressioni algebriche.
Ma cosa stanno ad indicare le lettere? La risposta corretta è dipende dal contesto! Una lettera può rappresentare un numero:
- variabile: un numero di cui non vuoi specificare il valore;
- incognito: un numero di cui non sai inizialmente il valore e lo scoprirai poi;
- costante: un numero che ha sempre lo stesso valore ma per comodità si rappresenta tramite una lettera.
Le espressioni letterali più semplici: i monomi
Le espressioni letterali più semplici si chiamano monomi. Il monomio è una espressione letterale in cui non compare l’addizione algebrica.
£$ \dfrac{1}{2} ab $£, £$ \quad -7 x $£, £$\quad 8y^3 z^2 $£, £$ \quad t^2 $£ sono monomi.
Un monomio è composto da:
- un coefficiente numerico
- una parte letterale
Il coefficiente numerico può essere un numero positivo oppure negativo, può essere un numero intero, una frazione o un numero decimale. Può anche essere il numero £$ 0 $£!
£$ 0a^2b^3 $£ è un monomio, equivale a scrivere £$ 0 $£: infatti £$ 0a^2b^3 = 0 $£
Se il coefficiente numerico è £$ 1 $£ possiamo scrivere £$ x^4y $£ invece di £$ 1x^4y $£. Se il coefficiente numerico è £$ -1 $£ possiamo scrivere £$ -st^2 $£ invece di £$ -1st^2 $£.
La parte letterale è il prodotto di lettere, ognuna con il proprio esponente.
Attenzione! Anche £$ -4 $£ è un monomio: immagina che il numero £$ -4 $£ sia seguito da lettere con esponente £$ 0 $£. Infatti sai che, quando elevi un numero (diverso da zero) o una lettera alla £$ 0 $£, il risultato è £$ 1 $£.
£$ 2^0 = 1 $£ e anche £$ x^0 = 1 $£. Quindi £$ -4= -4x^0$£.
Riconosciamo un monomio perché sono presenti solo moltiplicazioni o divisioni tra coefficiente numerico e parte letterale.
Il monomio può essere:
- intero: le lettere compaiono solo al numeratore
- frazionario: almeno una delle lettere compare al denominatore.
Cosa sono i monomi in forma normale
A scuola userai i monomi scritti in forma normale, ma che cosa vuol dire?
Un monomio in forma normale è composto dal prodotto tra un solo numero e una o più lettere diverse, con un certo esponente.
Per esempio, la forma normale del monomio £$ 3mtvt4m $£ è £$ 12m^2t^2v $£.
I monomi £$ 2x $£ e £$ -\dfrac{6}{5}x $£ sono monomi simili perché hanno la stessa parte letterale: entrambi infatti sono formati da un numero seguito dalla lettera £$ x $£.
Anche £$ 3x^5y^3 $£ e £$ -3x^5y^3 $£ sono monomi simili perché hanno le stesse lettere e con lo stesso esponente! Ma sono anche opposti! Infatti, hanno la stessa parte letterale e il coefficiente numerico £$ 3 $£ è il numero opposto del coefficiente numerico £$ – 3 $£.
Come si calcola il grado di un monomio
Il grado di un monomio si calcola facendo la somma degli esponenti di ogni singola lettera che compare nel monomio.
Ricordati che se una lettera non ha l’esponente vuol dire che il suo esponente è uguale a £$1$£ (e non £$ poichè ogni numero elevato a zero è uguale a [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]1$£!).
Se invece ti chiedono qual è il grado di un monomio composto solo dal coefficiente, cioè solo da un numero? Il grado è pari a zero: devi immaginarti che il numero sia seguito da una parte letterale dove ogni lettera è elevata a £$!
Esempi
Prendiamo ad esempio il monomio [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"] 5x^3 $£: il suo grado è £$ 3 $£ perché £$ 3 $£ è l’esponente della lettera £$ x $£.
Ma allora qual è il grado del monomio £$ 2a^2b^4 $£?
- Il grado rispetto alla lettera £$ a $£ è £$ 2 $£, perché £$ 2 $£ è l’esponente della lettera £$ a $£.
- Il grado rispetto alla lettera £$ b $£ è £$ 4 $£, perché £$ 4 $£ è l’esponente della lettera £$ b $£.
- Il grado complessivo del monomio è £$ 2 + 4 = 6 $£, cioè è uguale alla somma degli esponenti di tutte le lettere che compaiono nel monomio.
Qual è il grado del monomio £$ -11x $£? Ricorda che £$ x=x^1 $£: allora il grado del monomio è £$ 1 $£.
Qual è il grado del monomio £$ \dfrac{3}{7} $£? Questo monomio non ha una parte letterale scritta esplicitamente: pensiamolo come se fosse seguito da lettere con esponente £$ 0 $£, quindi il grado del monomio è £$ 0 $£. Possiamo pensare a tutti i numeri come monomi di grado £$ 0 $£.
Interrogazione sui monomi
Cosa potrebbe chiederti la prof domani all’interrogazione? Prova a rispondere alle nostre domande per mettere alla prova la tua preparazione sui monomi! Grado di un monomio, coefficiente e parte letterale, riduzione in forma normale!
Sfida sui monomi
Sfida:
Soluzione:
Vai a trovare il tuo amico Francesco che si è trasferito in un’altra città. Il costo del viaggio è variabile: prima prenoti meno spendi! All’ultimo decide di venire anche tuo fratello. Come esprimi il costo complessivo del viaggio? Scoprirai che quello che usi è un monomio!
Leggi bene la sfida e, se non riesci a risolverla, guarda la soluzione!