Le operazioni con i monomi
Un monomio, per definizione, è un’espressione algebrica composta da una parte letterale ed una numerica. Pensate ad esempi come £$3x^2, 5ab, 7xy$£. In questi esempi, i numeri 3, 5 e 7 sono i coefficienti, mentre x, y, a e b rappresentano la parte letterale del monomio. La potenza a cui è elevata ogni variabile indica il grado del monomio rispetto a quella variabile.
Sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere monomi sono le operazioni fondamentali che esploreremo in questo articolo, imparando come trattare i coefficienti, come gestire le potenze e come riconoscere quando e come si possono combinare monomi simili. Pronti? Iniziamo!
- La somma algebrica tra monomi
- L'elevamento a potenza di monomi
- La moltiplicazione tra monomi
- La divisione tra monomi
La somma algebrica tra monomi
Come si fa la somma algebrica tra due monomi?
Se in un cestino di frutta metti £$ 2 $£ arance (£$ 2a $£) e poi ancora £$ 4 $£ arance (£$ 4a $£), alla fine avrai £$ 6 $£ arance:
£$ 2a + 4a = (2+4)a = 6a $£Se nel cestino invece metti £$ 2 $£ arance (£$ 2a $£) e £$ 4 $£ banane (£$ 4b $£) alla fine avrai… £$ 2 $£ arance e £$ 4 $£ banane!
£$ 2a + 4b $£ … rimane £$ 2a + 4b $£
Se due monomi sono simili, cioè hanno la stessa parte letterale, allora il risultato della loro somma algebrica sarà un monomio che ha:
- come coefficiente numerico, la somma dei coefficienti
- come parte letterale, la stessa parte letterale degli addendi
Se i due monomi simili sono anche opposti allora il risultato dell’addizione è [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/].
£$ -5a + 5a = (-5 + 5)a =0a =0 $£Se i due monomi non sono simili, non puoi "calcolare" la somma! Facendo la somma tra monomi non simili, troviamo un oggetto più complesso che si chiama polinomio.
£$ 2a + 4b $£ è un polinomio!
Lo vedremo nella prossima lezione… intanto guarda gli esempi svolti nel video!
L’elevamento a potenza di monomi
Per calcolare la potenza di un monomio, ripassiamo bene le proprietà delle potenze!
In particolare la potenza di potenza, cioè quella proprietà che dice:
£$ (2^3)^4 = 2^{3\cdot4}=2^{12}$£Questa proprietà vale anche per le lettere che formano la parte letterale di un monomio:
£$ (a^5)^2 = a^{5\cdot2} = a^{10}$£Allora, per calcolare la potenza di un monomio occorre:
-
- elevare a potenza il coefficiente numerico
- elevare a potenza ciascuna lettera che forma la parte letterale
Guarda gli esempi svolti nel video!
La moltiplicazione tra monomi
La moltiplicazione tra monomi si può sempre calcolare!
Per farlo dobbiamo:
- moltiplicare tra loro i coefficienti numerici
- moltiplicare tra loro le lettere che formano la parte letterale
Anche per le moltiplicazioni ripassiamo bene le proprietà delle potenze, in particolare il prodotto di due potenze con la stessa base, cioè la proprietà che dice:
£$ 3^4\cdot3^3 = 3^{3+4}=3^7 $£Questa proprietà vale anche per le lettere:
£$ x^2\cdot x^6 = x^{2+6} =x^8 $£Guarda gli esempi svolti nel video!
La divisione tra monomi
Per calcolare le divisioni tra polinomi ripassiamo bene la proprietà delle potenze del quoziente tra potenze con la stessa base, cioè la proprietà che dice:
£$ 5^7 : 5^2 = 5^{7-2}=5^5 $£Questa proprietà vale anche per le lettere:
£$ t^4 : t = t^{4-1} =t^3 $£Per fare una divisione tra monomi dobbiamo:
- dividere tra loro i coefficienti numerici
- dividere tra loro le lettere che formano la parte letterale
Attenzione! Due monomi non sono sempre divisibili…
Proviamo a fare queste divisioni:
- £$ -6a^2 : 3a^3 = \frac{-6}{3}a^{2-3}=-2a^{-1}$£. Il risultato ha esponente negativo;
- £$ 3ab : 2c = \frac{3}{2} abc^{-1}$£, anche in questo caso l’esponente è negativo.
Questi non sono monomi!
Quando devi calcolare una divisione tra monomi, osserva bene la parte letterale del primo e del secondo monomio.
- Nel secondo monomio ci sono delle lettere che non sono nel primo monomio?
- Nel secondo monomio l’esponente di una lettera è più grande dell’esponente della stessa lettera nel primo monomio?
Se hai risposto sì almeno a una di queste domande, allora i due monomi non sono divisibili.
Guarda altri esempi svolti nel video!