Quadrato di binomio: come fare la scomposizione
Il calcolo del quadrato di un binomio e la sua scomposizione sono concetti chiave nell’algebra che giocano un ruolo fondamentale nella semplificazione delle espressioni algebriche e nella risoluzione delle equazioni. Un binomio è un’espressione algebrica composta da due termini, ad esempio £$a+b$£, dove e possono essere numeri, variabili o la combinazione dei due. Il quadrato di un binomio si riferisce all’elevamento al quadrato dell’intero binomio, cioè alla moltiplicazione del binomio per se stesso, risultando nell’espressione £$(a+b)^2$£.
Il calcolo del quadrato di un binomio segue la regola nota come formula del quadrato di un binomio, che afferma che£$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$£. Questa formula evidenzia che il quadrato di un binomio non è semplicemente la somma dei quadrati dei suoi termini, ma include anche un termine addizionale, , che rappresenta il doppio prodotto dei due termini del binomio.
La scomposizione, d’altra parte, implica il processo inverso, ossia partire da un’espressione polinomiale, come £$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$£, e ricondurlo alla forma fattorizzata £$(a+b)^2$£. Questo processo richiede la comprensione e l’applicazione delle regole algebriche e delle identità notevoli, come quella del quadrato di un binomio, per semplificare e ristrutturare le espressioni algebriche in forme più gestibili.
Vediamolo insieme.
Il trucco del prodotto notevole quadrato di un binomio
Un altro prodotto notevole è il quadrato di un binomio.
$$ (a + b)^2 $$
Per eseguire questa potenza puoi ricordare che “fare alla seconda" vuol dire moltiplicare un numero per se stesso £$ 2 $£ volte. E questo vale anche per le lettere, quindi per i monomi!
£$ (a + b)^2 = (a+b)(a+b)$£
Possiamo svolgere tutti i passaggi:
£$ a\cdot(a+b) + b\cdot(a+b) = \\ = a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b = \\ = a^2 +ab +ab +b^2 $£
Sommiamo i monomi simili e troviamo £$ a^2+2ab+b^2 $£.
Il termine £$ 2ab $£ si chiama doppio prodotto (perché è il doppio del prodotto tra i due monomi). Fai attenzione a non dimenticare il doppio prodotto! Dimenticarsene è un errore comune… NON è vero che £$ (a+b)^2=a^2+b^2 $£: manca il doppio prodotto!
Quando devi svolgere il quadrato di un binomio puoi evitare i passaggi e ricordare che:
$$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $$
Trovi la tabella con tutte le formule qui.
Esempi di Prodotti notevoli – Quadrato di un binomio
Esempio:
£$ (2x + 3y)^2 $£ è il quadrato del binomio £$ 2x + 3y $£.
Saltiamo i passaggi e troviamo il risultato:
£$ (2x)^2 +2\cdot (2x) \cdot(3y) + (3y)^2= \\ = 4x^2 +12xy+ 9y^2 $£
E se c’è il segno meno?
Prova a calcolare £$ (a-b)^2 $£!
Scoprirai che £$ (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 $£.