Come fare l'addizione con i numeri razionali
L’addizione e la somma algebrica di numeri razionali sono operazioni fondamentali in matematica, che permettono di combinare frazioni, interi e numeri misti in maniera strutturata. I numeri razionali sono espressi come il rapporto tra due interi, dove il numeratore rappresenta il numero di parti considerate e il denominatore indica in quante parti è diviso l’intero. La capacità di eseguire correttamente addizioni e somme algebriche con questi numeri è essenziale per una vasta gamma di applicazioni matematiche, dalla soluzione di equazioni semplici all’analisi di funzioni più complesse.
Per addizionare due o più numeri razionali, è cruciale che i denominatori dei numeri coinvolti siano uniformi, ovvero che abbiano lo stesso valore. Se i denominatori sono già uguali, l’addizione si riduce alla somma dei numeratori, mantenendo invariato il denominatore comune. Ad esempio, sommare £$\frac14$£ e £$\frac34$£ è semplice poiché i denominatori sono uguali, risultando in 1+34=44=1.
Tuttavia, quando i denominatori differiscono, è necessario trovare un denominatore comune, preferibilmente il minimo comune denominatore (MCD), prima di poter sommare i numeri. Questo processo comporta la riduzione dei razionali a frazioni equivalenti che hanno lo stesso denominatore, permettendo quindi di sommare i numeratori. Ad esempio, per sommare £$\frac13$£ e £$\frac16$£, si trasforma £$\frac13$£ in £$\frac26$£, permettendo l’addizione.
La somma algebrica estende il concetto di addizione includendo la sottrazione, e richiede di considerare i segni dei numeri coinvolti. In questo contesto, i numeri razionali possono essere trattati come addizioni di termini positivi e negativi. La chiave per gestire correttamente queste operazioni sta nell’applicare le regole dei segni e, se necessario, nel raggruppare termini simili per semplificare l’espressione finale.
Vediamo come fare passo per passo.
- Cosa sono i numeri relativi razionali
- Le addizioni e le sottrazioni con i numeri razionali
- Le proprietà della somma algebrica con i numeri razionali
Cosa sono i numeri relativi razionali
E questa scrittura £$ \left(-\dfrac32\right) $£ che cosa vuol dire?
£$ \left(-\dfrac32\right) $£ è una frazione con segno negativo.
Anche i numeri razionali possono essere positivi o negativi! £$ \left(-\dfrac32\right) $£ è la frazione opposta della frazione £$ \left(+\dfrac32\right) $£, cioè £$ \left(-\dfrac32\right) + \left(+\dfrac32\right) =0 $£
Per eseguire addizioni e sottrazioni con frazioni con segno positivo o negativo basta seguire le regole che abbiamo già incontrato per le operazioni con frazioni e le operazioni con numeri interi.
Fai attenzione alle differenti scritture!
£$ \left(-\dfrac32\right) $£ è equivalente a £$ \left(\dfrac{-3}2\right) $£ e anche a £$ \left(\dfrac3{-2}\right) $£
£$ \left(\dfrac53\right) $£ è equivalente a £$ \left(\dfrac{-5}{-3}\right) $£
Le addizioni e le sottrazioni con i numeri razionali
Hai imparato a calcolare addizioni e sottrazioni di numeri relativi interi: per calcolare addizioni e sottrazioni con i numeri relativi razionali, occorre ripassare le addizioni e le sottrazioni con le frazioni.
Ricorda che addizioni e sottrazioni sono la stessa cosa, ora che abbiamo imparato le differenze tra numeri positivi e negativi.
Per sommare due numeri razionali con lo stesso denominatore, basta calcolare la somma algebrica tra i numeratori.
Esempio: £$ \dfrac 67 – \dfrac 87 = \dfrac{6 + (-8)}{7} = -\dfrac 27 $£
Per sommare due frazioni che hanno denominatore diverso, calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori. Una volta trovato il denominatore comune, calcoliamo la somma algebrica dei numeratori delle frazioni equivalenti.
Esempio: £$ \left( – \dfrac 35 \right) + \dfrac 23 = \dfrac{3 \cdot (-3) + 5 \cdot (+ 2)}{15} = $£ £$ \dfrac{-9 + 10}{15} =+ \dfrac{1}{15} $£
Le proprietà della somma algebrica con i numeri razionali
In un’espressione con somme algebriche di numeri positivi e negativi, una volta tolte le parentesi, possiamo applicare due proprietà che già conosci molto bene: la proprietà commutativa e la proprietà associativa dell’addizione che valgono anche con i numeri negativi!
Utilizzare queste proprietà ti può aiutare molto ad eseguire i calcoli più complessi.
Ti ricordi che cosa dicono?
Proprietà commutativa dell’addizione: £$ \dfrac ab + \dfrac cd = \dfrac cd + \dfrac ab $£
Esempio: £$ \dfrac 13 + \left(- \dfrac 23 \right) = – \dfrac 23 + \dfrac 13 = – \dfrac 13 $£
Proprietà associativa dell’addizione: £$ \dfrac ab + \left(\dfrac cd + \dfrac ef \right) = \left( \dfrac ab + \dfrac cd \right) + \dfrac ef $£
Esempio: £$ \left(- \dfrac 34 \right) + \left( \left(-\dfrac 24 \right) + \left( +\dfrac 64 \right) \right) = $£ £$ \left( \left(- \dfrac 34 \right) + \left( – \dfrac 24 \right) \right) + \left( +\dfrac 64 \right) = + \dfrac 14 $£