Ripasso della moltiplicazione e divisione con i numeri relativi
Le operazioni con i numeri relativi sono come quelle che abbiamo già imparato.
La moltiplicazione e la divisione tra numeri interi rispettano la regola dei segni: se i numeri moltiplicati sono concordi, il risultato è positivo; se i numeri moltiplicati sono discordi, il risultato è negativo.
Ripassa la moltiplicazione e la divisione tra numeri razionali: a complicare un pochino le cose, la presenza dei segni £$ + $£ e £$ – $£.
Quando parliamo di potenze, invece, dobbiamo solo fare attenzione ai segni! Nel caso in cui la base sia un numero negativo, controlliamo l’esponente: se è un numero pari, il risultato è positivo, se è un numero dispari, il segno resta negativo.
Ma li scopriremo insieme in questo articolo.
- Moltiplicazioni con i numeri interi e relativi
- Divisioni con i numeri interi e relativi
- Moltiplicazioni e divisioni con i numeri razionali
- Potenze di numeri interi e razionali
- Potenze con esponente negativo
Moltiplicazioni con i numeri interi e relativi
Fare le moltiplicazioni con i numeri interi può essere molto divertente!
Ti basta ricordare come fare le moltiplicazioni tra numeri naturali e poi imparare una semplice regolina: la regola dei segni.
Se i segni dei fattori sono concordi, il risultato è positivo.
Se i segni dei fattori sono discordi, il risultato è negativo.
Per fare una moltiplicazione con i numeri interi:
- decidiamo il segno del risultato con la regola dei segni;
- calcoliamo il prodotto tra i valori assoluti dei fattori.
Esempi:
£$ (+5) \cdot (+2) = +10 $£
£$ (-5) \cdot (-2) = +10 $£
£$ (+5) \cdot (-2) = -10 $£
£$ (-5) \cdot (+2) = -10 $£
Ricorda! Alcune delle regole che abbiamo già imparato, valgono anche per le moltiplicazioni tra numeri interi.
Qualsiasi numero moltiplicato per £$ 0 $£ dà come risultato £$ 0 $£.
£$ (+5)\cdot 0 = 0$£
£$ (-5)\cdot 0 = 0$£
Abbiamo imparato che £$ 1$£ è l’elemento neutro della moltiplicazione.
Questa proprietà vale anche per i numeri relativi: la moltiplicazione per £$ 1 $£ dà come risultato il numero stesso!
£$ (+5)\cdot (+1) = +5 $£
£$ (-5)\cdot (+1) = -5 $£
È un discorso diverso per la moltiplicazione per £$ -1 $£.
La moltiplicazione per questo numero dà come risultato il numero di partenza, ma con il segno opposto!
£$ (+5)\cdot (-1) = -5 $£
£$ (-5)\cdot (-1) = +5 $£
Moltiplicare per £$ -1 $£ equivale a cambiare il segno!
Divisioni con i numeri interi e relativi
Forse ora stai già immaginando come si fanno le divisioni con i numeri interi…
Anche questa volta ti basta ricordare come fare le divisioni tra numeri naturali e conoscere la regola dei segni per la divisione.
Per fare una divisione con i numeri interi:
- decidiamo il segno del risultato con la regola dei segni;
- calcoliamo la divisione tra i valori assoluti dei fattori.
Esempi:
£$ (+10) : (+2) = +5 $£
£$ (-10) : (-2) = +5 $£
£$ (+10) : (-2) = -5 $£
£$ (-10) : (+2) = -5 $£
Ricorda! Alcune delle regole che abbiamo già imparato, valgono anche per le divisioni tra numeri interi.
Il quoziente tra due numeri interi non è sempre un numero intero. Prima di tutto, non si può mai dividere per £$ 0 $£!
£$ (+10) : 0 $£ non ha significato.
Inoltre, ad esempio, il quoziente £$ (+5) : (-3) $£ non è un numero intero!
Come hai già visto quando hai studiato la divisione, il numero £$ 0 $£ diviso per qualsiasi altro numero diverso da £$, dà [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"] 0 $£ come risultato!
£$ 0 : (+5) = 0$£
£$ 0 : (-5) = 0$£
Qualsiasi numero diviso per £$ +1 $£ dà come risultato il numero stesso!
£$ (+5) : (+1) = +5 $£
£$ (-5) : (+1) = -5 $£
E la divisione per £$-1$£? Come per la moltiplicazione, qualsiasi numero diviso per £$ -1 $£ dà come risultato il suo opposto!
£$ (+5) : (-1) = -5 $£
£$ (-5) : (-1) = +5 $£
Anche dividere per £$ -1 $£ equivale a cambiare il segno!
Moltiplicazioni e divisioni con i numeri razionali
Moltiplicare e dividere numeri razionali positivi o negativi è un gioco da ragazzi!
Basta ricordare le moltiplicazioni e le divisioni tra frazioni, le regole dei segni e che £$ -\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} $£.
Per moltiplicare due frazioni ricorda che puoi semplificare in croce per velocizzare i calcoli.
Possiamo trasformare la divisione tra due frazioni nella moltiplicazione della prima frazione per il reciproco della seconda.
Esempi:
£$-\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5}=-\frac{2\cdot 6}{3\cdot5}=-\frac{12}{15}=-\frac{4}{5}$£
£$-\frac{2}{3} : \left(-\frac{8}{9}\right) =-\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{9}{8}\right) = $£ £$ +\frac{2\cdot 9}{3\cdot8}=+\frac{18}{24}=+\frac{3}{4}$£
Potenze di numeri interi e razionali
Le potenze di numeri interi potrebbero trarre in inganno… ma basta conoscere un semplice trucchetto per calcolarle in quattro e quattr’otto.
Ricordiamo la definizione di potenza. Ad esempio, fare £$ (+5)^2 $£ vuol dire moltiplicare il numero intero £$ +5 $£ per se stesso £$ 2 $£ volte.
£$ (+5)^2 =(+5)\cdot(+5)=+25$£
Nello stesso modo, fare £$ (-5)^2 $£ vuol dire moltiplicare il numero intero £$ -5 $£ per se stesso £$ 2 $£ volte.
£$ (-5)^2 =(-5)\cdot(-5)=+5^2=+25$£
Il prodotto di due segni £$ – $£ è un segno £$ + $£! Il quadrato di £$ -5 $£ è il numero positivo £$ 25 $£.
E £$ (-2)^3 $£? £$ (-2)^3 = (-2)\cdot(-2)\cdot(-2) = -2^3 = -8$£
Il prodotto di tre segni £$ – $£ è un segno £$ – $£!
In generale, quando calcoliamo la potenza di un numero negativo:
- se l’esponente è pari, il risultato è positivo (segno £$ + $£);
- se l’esponente è dispari, il risultato è negativo (segno £$ – $£).
Anche per calcolare le potenze di frazioni con segno meno, puoi utilizzare la stessa regola!
Esempi:
£$ \left(-\frac{2}{5}\right)^2 = \left(-\frac{2}{5}\right) \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = +\frac{4}{25} $£ £$ \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{27} $£
Ricorda!
Qualsiasi numero elevato alla £$ 1 $£ dà come risultato il numero stesso: £$(-5)^1=-5$£
Qualsiasi numero diverso da £$ 0 $£ elevato alla £$ 0 $£ dà come risultato £$ 1 $£ indipendentemente dal segno: £$(-5)^0=1$£
Potenze con esponente negativo
E se l’esponente di una potenza fosse un numero intero negativo?
Che cosa vuol dire la scrittura £$ (+5)^{-2} $£?
La potenza con esponente intero negativo e con base intera è una frazione!
$$ (+5)^{-2} =+\frac{1}{5^2}=+\frac{1}{25}$$
Al numeratore scriviamo il numero £$ 1 $£ e al denominatore scriviamo la stessa potenza ma con esponente positivo.
Esempio: £$ (-3)^{-4} =+\frac{1}{(-3)^4}=+\frac{1}{81}$£
E che cosa succede se la potenza con esponente intero negativo ha come base una frazione?
Dobbiamo considerare la frazione reciproca, quella che si ottiene scambiando il numeratore con il denominatore.
$$ \left(-\frac{2}{5}\right)^{-3} = \left(-\frac{5}{2}\right)^3 = -\frac{125}{8} $$
Quindi, la potenza negativa di un numero è uguale alla potenza positiva del reciproco della base!
Le proprietà della moltiplicazione e delle potenze
La moltiplicazione tra numeri interi e razionali, positivi e negativi, ha le stesse proprietà.
Proprietà commutativa
£$ (-5)\cdot(+2)=(+2)\cdot(-5) = -10 $£
Proprietà associativa
£$ [(-5)\cdot(+2)]\cdot (-3)=(-5)\cdot[(+2)\cdot(-3)] = +30 $£
Proprietà distributiva rispetto all’addizione
£$ (-5)\cdot[(+2)+(-3)] =[(-5)\cdot(+2)]+ [(-5)\cdot(-3)]= +5 $£
Inoltre valgono tutte le proprietà delle potenze che hai visto fino ad ora!
Prodotto di potenze con la stessa base
£$ (-2)^{+2} \cdot (-2)^{-3} = (-2)^{(+2) + (-3)} = (-2)^{-1} $£
Divisione di potenze con la stessa base
£$ (-2)^{+2} : (-2)^{-3} = (-2)^{(+2) – (-3)} = (-2)^{+5} $£
Prodotto di potenze con stesso esponente
£$ (-2)^{-3} \cdot (+3)^{-3} = ((-2) \cdot (+3))^{-3} = (-6)^{-3} $£
Divisione di potenze con stesso esponente
£$ (-2)^{-3} : (+3)^{-3} = ((-2) : (+3))^{-3} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{-3} $£
Potenza di potenza
£$ \left[(-2)^{-3}\right]^{+2} = (-2)^{(-3) \cdot (+2)}=(-2)^{-6} $£