Il calcolo della potenza di una frazione: come si fa
In quest’articolo, ci immergeremo in un concetto specifico della matematica: la potenza di una frazione. Esploreremo le fondamenta di questo argomento, dai principi base delle potenze e delle frazioni, fino a come calcolare effettivamente le potenze. Si tratta di due temi diversi che si uniscono: impara a svolgerle con noi!
- Cosa sono le potenze e le frazioni
- Come calcolare la potenza di una frazione?
- Potenze con esponente 0 e 1
Cosa sono le potenze e le frazioni
Prima di affrontare il concetto di potenza di una frazione, è importante capire cosa sono le potenze e le frazioni. Cerchiamo di ripassarle insieme!
Iniziamo con le potenze. Una potenza è un modo per esprimere la moltiplicazione ripetuta di un numero per se stesso. Il numero che viene moltiplicato è chiamato "base", mentre il numero di volte in cui viene moltiplicato è l'"esponente". Per esempio, se abbiamo 2 alla terza potenza, scritto come £$2^3$£, significa che 2 è la base e 3 è l’esponente. Quindi, moltiplichiamo 2 per se stesso tre volte.
Le frazioni, d’altro canto, rappresentano una quantità parziale o una divisione tra due numeri. Il numero in cima è chiamato "numeratore", mentre quello in basso è il "denominatore". Ad esempio, in £$\frac34$£, 3 è il numeratore e 4 è il denominatore. Questa frazione rappresenta la divisione di 3 per 4, o tre quarti di un’unità.
Come calcolare la potenza di una frazione?
La potenza di una frazione è il prodotto di tante frazioni uguali quante ne indica l’esponente.
Esempio: £$ \left( \dfrac{5}{4}\right)^2=\dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{5}{4} $£. Per calcolare il prodotto di frazioni, semplifichiamo in croce e moltiplichiamo in riga, quindi: £$ \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{5 \cdot 5}{4 \cdot 4}= \dfrac{5^2}{4^2} $£
Per calcolare la potenza di una frazione basta quindi calcolare la potenza del numeratore fratto la potenza del denominatore.
Esempio: £$ \left( \dfrac{2}{3} \right)^2 = \dfrac{2^2}{3^2} = \dfrac{4}{9} $£
Attenzione! È molto importante mettere le parentesi per fare la potenza di una frazione. La parentesi indica che vuoi elevare tutta la frazione e non solo uno fra numeratore e denominatore. Per esempio: £$\left( \dfrac{7}{5} \right)^2 $£ è diverso da £$ \dfrac{7}{5}^2$£, infatti £$\left( \dfrac{7}{5} \right)^2= \dfrac{49}{25} $£, mentre £$ \dfrac{7}{5} ^2= \dfrac{7^2}{5} = \dfrac{49}{5} $£
Potenze con esponente 0 e 1
Cosa succede se l’esponente della potenza è uguale a £$ 0 $£ o a £$ 1 $£? Niente di nuovo, lo abbiamo già imparato con le potenze dei numeri naturali.
Se l’esponente della potenza è uguale a £$ 1 $£, il risultato è uguale alla base stessa.
Esempio: £$ \left( \dfrac 65 \right)^1 = \dfrac{6^1}{5^1} = \dfrac 65 $£
Se l’esponente della potenza è uguale a £$ 0 $£, il risultato è sempre uguale a £$ 1 $£, basta che la base della potenza sia diversa da £$ 0 $£.
Esempio: £$ \left( \dfrac 38 \right)^0 = \dfrac{3^0}{8^0} = 1 $£
Ricorda sempre le parentesi: in mancanza di parentesi intorno alla frazione, l’elevamento a potenza è da considerare solo per il numeratore.
Esempio: £$ \dfrac{13}{24} ^0 = \dfrac{13^0}{24} = \dfrac{1}{24} $£