Ellisse e retta: quali sono le posizioni reciproche

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Scopri le posizioni reciproche di ellisse e retta, le rette tangenti da un punto esterno e infine la formula di sdoppiamento.

La posizione reciproca fra rette e curve è una parte importante della geometria analitica. Abbiamo visto le posizioni reciproche tra rette, tra rette e parabola e tra rette e circonferenza, facciamo lo stesso anche per l’ellisse. Una retta ed un’ellisse possono essere secanti, tangenti o esterne.

Se conosciamo l’equazione della retta e dell’ellisse basta risolvere il sistema con le due equazioni e analizzare le soluzione per capire la posizione reciproca. Può capitare che non conosciamo, per esempio, l’equazione della retta, ma sappiamo che è tangente e passa per un punto esterno all’ellisse di cui conosciamo le coordinate. In questo caso possiamo applicare la formula di sdoppiamento e trovare l’equazione della retta tangente.

Tramite gli esercizi svolti capirai l’importanza del £$\Delta $£ dell’equazione risolvente il sistema fra retta ed ellisse nell’analisi delle posizioni reciproche fra retta ed ellisse.

Posizioni reciproche tra ellisse e retta
Rette tangenti da un punto esterno
Esercizi sulle posizioni reciproche tra ellisse e retta
Sfida sulle posizioni reciproche tra ellisse e retta

Posizioni reciproche tra ellisse e retta

In quale posizione può trovarsi una retta rispetto ad un’ellisse? Una retta può essere:

secante all’ellisse: ci sono due punti di intersezione;
tangente all’ellisse: c’è un unico punto di intersezione;
esterna all’ellisse: non ci sono punti di intersezione.

Possiamo analizzare le posizioni reciproche fra retta ed ellisse dalle soluzioni del sistema fra l’equazione dell’ellisse e della retta.
Il sistema può essere:

Determinato con due soluzioni distinte (se £$\Delta > 0$£ nell’equazione risolvente) e quindi la retta è secante all’ellisse;
Determinato con una sola soluzione (se £$\Delta = 0$£ nell’equazione risolvente), perciò la retta è tangente all’ellisse;
Impossibile (se [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]\Delta esterna all’ellisse.

Rette tangenti da un punto esterno

Dato un punto £$P$£ esterno all’ellisse, per £$P$£ passano due rette tangenti all’ellisse.

Per trovare l’equazione di queste rette o i punti di tangenza, risolviamo il sistema fra una generica retta passante per £$P$£ (quindi di equazione £$y-y_P=m(x-x_P)$£) e l’equazione dell’ellisse, imponendo che il £$\Delta$£ dell’equazione risolvente sia nullo, e quindi che il sistema abbia una soluzione unica.

Formula di sdoppiamento

Per calcolare l’equazione di una retta tangente all’ellisse conoscendo l’equazione dell’ellisse e il punto £$P(x;y)$£ di tangenza, possiamo applicare la formula di sdoppiamento:

£$\frac{x \cdot x_0}{a^2}+ \frac{y \cdot y_0}{b^2}=1$£