Ellisse traslata: definizione, formule ed equazione
L’ellisse traslata rappresenta una figura geometrica fondamentale nell’ambito della matematica analitica, caratterizzata dalla sua forma ovale e dalla sua posizione specifica all’interno del piano cartesiano.
A differenza dell’ellisse standard, il cui centro coincide con l’origine del sistema di coordinate, l’ellisse traslata ha infatti il suo centro in un punto arbitrario (h,k), risultato di una traslazione orizzontale e verticale dalla posizione originaria. Questo spostamento conferisce all’ellisse traslata una versatilità notevole in applicazioni pratiche e teoriche, pur mantenendo le caratteristiche distintive dell’ellisse come forma geometrica.
Scopri che cos’è un’ellisse traslata e qual è l’equazione di una ellisse traslata. Impara il metodo del completamento del quadrato per trovare l’equazione di un’ellisse traslata.
- Cos'è l'ellisse traslata
- Qual è l'equazione di un'ellisse traslata
- Metodo del completamento del quadrato per l'ellisse
- Esercizi sull'ellisse traslata
- Sfida sull'ellisse traslata
Cos’è l’ellisse traslata
L’ellisse traslata è una forma di ellisse che non è centrata sull’origine del sistema di coordinate, ma è stata spostata, o “traslata”, in una nuova posizione nel piano cartesiano. Questo spostamento non altera la forma o le dimensioni dell’ellisse, ma ne cambia semplicemente la posizione.
Sicuramente avrai quindi capito che non tutte le ellissi hanno il centro nell’origine. Il centro dell’ellisse può essere in un punto qualsiasi del piano cartesiano. Questa traslazione permette di posizionare l’ellisse in qualsiasi punto del piano, mantenendo inalterate le sue proprietà geometriche essenziali.
Qual è l’equazione di un’ellisse traslata
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Se l’ellisse ha il centro in un punto qualunque del piano cartesiano, come cambia la forma canonica dell’ellisse?
L’ellisse di centro £$C(x_C;y_C)$£ ha equazione $$\frac{(x-x_c)^2}{a^2}+\frac{(y-y_c)^2}{b^2}=1$$
dove i coefficienti £$a$£ e £$b$£ rappresentano le misure dei semiassi.
I vertici saranno quindi nei punti £$V_{1,2}(x_C\pm a;y_C)$£ e £$V_{3,4}(x_C;y_C\pm b)$£
Metodo del completamento del quadrato per l’ellisse
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Ma come scrivere l’equazione dell’ellisse traslata in forma canonica? Semplice, basta usare il metodo del completamento del quadrato!
Il metodo del completamento del quadrato per l’ellisse è una tecnica algebrica utilizzata per riscrivere l’equazione di un’ellisse in forma standard, in modo da rendere evidenti il centro, i semiassi e l’orientazione dell’ellisse stessa. Questo metodo è particolarmente utile quando l’equazione dell’ellisse è presentata in forma canonica e si desidera identificarne le caratteristiche geometriche chiave.
Esercizi sull’ellisse traslata
Prova a risolvere questi esercizi sull’ellisse traslata: trova la sua equazione in forma canonica, le coordinate del centro e i vertici.
Ti servirà il metodo del completamento del quadrato: te lo ricordi? Ripassalo nella lezione!
Sfida sull’ellisse traslata
Sfida e soluzione:
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I nostri pianeti si stancano di avere sempre la stessa orbita e così si muovono nello spazio. Riesci a calcolare dove si è spostato il pianeta conoscendo l’equazione della nuova traiettoria?