Equazione dell'ellisse: definizione e caratteristiche
L’ellisse è una curva molto importante perché è la traiettoria seguita dai pianeti nel sistema solare. Qual è la sua definizione? E come si presenta un’ellisse con i fuochi sull’asse delle x o sull’asse delle y.
Abbiamo imparato a riconoscere e studiare la retta, la circonferenza e la parabola nel piano cartesiano, è il momento di conoscere tutte le caratteristiche dell’ellisse.
Tramite gli esercizi svolti sarà facile trovare la definizione di ellisse come luogo geometrico e ricavare l’equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse £$x$£ e l’equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse £$y$£
- L'ellisse e la sua equazione
- Ellisse come luogo geometrico
- Ellisse con i fuochi sull'asse £$x$£
- Ellisse con i fuochi sull'asse £$y$£
- Esercizi sull'ellisse
- Sfida sull'equazione dell'ellisse
L’ellisse e la sua equazione
L’ellisse è una figura geometrica piana, una forma di conica ottenuta intersecando un cono con un piano in un modo che il piano non sia parallelo all’asse, né intersechi la base del cono. Si può anche descrivere come il luogo geometrico dei punti per cui la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante.
Questa proprietà rende l’ellisse unica nei suoi usi e caratteristiche, spesso impiegata in ambiti che vanno dall’astronomia, dove i pianeti seguono orbite ellittiche attorno al sole, alla progettazione ottica e architettonica.
Ellisse come luogo geometrico
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Dopo aver visto cosa sono la circonferenza e la parabola dal punto di vista analitico, vediamo cos’è l’ellisse.
L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per cui la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante.
Ellisse con i fuochi sull’asse £$x$£
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L’equazione canonica dell’ellisse dipende dalle sue caratteristiche.
L’ellisse che ha:
- centro (che è il punto medio del segmento che unisce i due fuochi) nell’origine degli assi cartesiani
- fuochi sull’asse delle £$x$£
ha equazione canonica: £$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$£ con £$ a^2 > b^2 \Rightarrow b^2 = a^2 – c^2 $£
Dove:
- £$2c$£ somma delle distanze fra i due fuochi
- £$a$£ misura del semiasse maggiore
- £$b$£ misura del semiasse minore
Ellisse con i fuochi sull’asse £$y$£
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L’ellisse che ha:
- centro (che è il punto medio del segmento che unisce i due fuochi) nell’origine degli assi cartesiani
- fuochi sull’asse delle £$y$£
ha equazione canonica: £$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$£ con [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]a^2
In questo caso:
- £$2c$£ somma delle distanze fra i due fuochi
- £$b$£ misura del semiasse maggiore
- £$a$£ misura del semiasse minore
Esercizi sull’ellisse
Ecco i primi esercizi sull’ellisse, vista come luogo geometrico.
Prova a risolvere tutti gli esercizi. Se vuoi, ce ne sono altri nei tre livelli e sono tutti spiegati!
Sfida sull’equazione dell’ellisse
Testo:
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Soluzione:
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Prova a risolvere la sfida sull’equazione dell’ellisse. Ma cosa c’entrano le orbite dei pianeti? Scoprilo!