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Fasci di circonferenze: cosa sono e come si definiscono

Agostino Sapienza

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Cosa sono i fasci di circonferenze? Quanti tipi di fasci di circonferenze esistono? Come troviamo l’asse radicale? Esiste la circonferenza degenere? Risponderemo a tutte queste domande in questo articolo!

In questa lezione imparerai:

  • Definizione di fascio di circonferenze: che cosa è e come si costruisce un fascio di circonferenze
  • Tipi di fasci di circonferenze: cosa sono i fasci di circonferenze secanti, tangenti e senza punti in comune
  • Studio di un fascio di circonferenze: tutto quello che serve per studiare un fascio di circonferenze: generatrici, punti base, asse radicale e circonferenze degeneri

Cos’è un fascio di circonferenze

Un fascio di circonferenze, nel campo della geometria euclidea, è un insieme di circonferenze che hanno tutte un elemento in comune. Questo elemento comune può essere un punto, chiamato "centro di fascio", nel caso in cui tutte le circonferenze abbiano lo stesso centro, o una retta, chiamata "asse di fascio", se tutte le circonferenze sono tangenti a quella retta in un punto.

A prima vista, un fascio di circonferenze può sembrare una semplice collezione di cerchi, ma in realtà racchiude una grande complessità e offre svariate possibilità di applicazione nei problemi geometrici.

Fascio di circonferenze: definizione e qual è l’equazione

Come nel caso dei fasci di rette, un fascio di circonferenze è un insieme di circonferenze con una caratteristica in comune.

Ma come scriviamo l’equazione di un fascio di circonferenze?

Prendiamo due circonferenze £$\gamma_1$£ e £$\gamma_2$£ due numeri reali £$p$£ e £$q$£ non entrambi nulli contemporaneamente, cioè se £$p=0 $£ allora £$q\neq0$£ e viceversa.

Il fascio di circonferenze è la combinazione lineare di £$\gamma_1$£ e £$\gamma_2$£ rispetto ai due coefficienti £$p$£ e £$q$£:

£$F:p(x^2+y^2+ax+by+c)+ $£ £$q(x^2+y^2+a’x+b’y+c)=0$£

£$\gamma_1$£ e £$\gamma_2$£ sono le generatrici del fascio di circonferenze £$F$£.

£$p$£ e £$q$£ non possono essere nulli contemporaneamente. Supponiamo allora che £$p\neq0$£ e dividiamo l’equazione di £$F$£ per £$p$£ e poniamo £$\frac{q}{p}=k$£.

L’espressione di £$F$£ diventa:

£$F:x^2+y^2+ax+by+c $£ £$+k(x^2+y^2+a’x+b’y+c)=0$£

Tipi di fasci di circonferenze

Per capire come sono posizionate le circonferenze di un fascio le une rispetto alle altre, basta guardare le due generatrici.

  • Se le due generatrici si intersecano in due punti abbiamo un fascio di circonferenze secanti.

I punti di intersezione £$A$£ e £$B$£ sono i punti base del fascio. La retta che passa per i punti base è l’asse radicale.

Troviamo l’equazione dell’asse radicale e le coordinate dei punti base risolvendo il sistema tra le due generatrici del fascio.

  • Se le due generatrici sono tangenti in un punto allora tutte le circonferenze del fascio sono tangenti in quel punto che è il punto base. La retta tangente comune a tutte le circonferenze è l’asse radicale.

Un fascio di questo tipo è un fascio di circonferenze tangenti!

  • Se le due generatrici non hanno punti in comune abbiamo un fascio di circonferenze senza punti in comune (possono essere interne o esterne tra loro).

Oppure se sono concentriche abbiamo ha un fascio di circonferenze concentriche.

Come studiare un fascio di circonferenze

Quando studiamo un fascio di circonferenze, dobbiamo trovare:

  1. Le due generatrici
  2. I punti base
  3. L’asse radicale
  4. Le circonferenze degeneri

Attenzione!
Una circonferenza degenere può essere una retta (circonferenza di raggio infinitamente grande) oppure un singolo punto (circonferenza di raggio nullo)

Attenzione!
Un fascio di circonferenze può essere una combinazione lineare di una circonferenza e di una retta, che rappresenta l’asse radicale del fascio.

  • L’asse radicale è l’asse delle ascisse. Allora i punti base del fascio saranno i punti di intersezione della generatrice con l’asse £$x$£.
  • Abbiamo una circonferenza degenere che è anche la generatrice (asse £$x$£).

Spesso per scrivere l’equazione di un fascio potresti non avere le equazioni delle generatrici (o una circonferenza e l’asse radicale), ma altre informazioni che ti permettono di trovare le equazioni delle generatrici e quindi l’equazione del fascio.