L'equazione di una circonferenza dati uno, due o tre punti
Oggi parleremo di un elemento chiave della geometria: l’equazione della circonferenza. Questa è una formula speciale che descrive l’insieme di punti che formano una circonferenza. Conoscere e comprendere questa equazione ci consente di esplorare la circonferenza da una prospettiva più matematica, piuttosto che puramente visiva. In questo articolo, ci concentreremo su come trovare l’equazione della circonferenza dati uno, due o tre punti.
Ma come si può ottenere un’equazione, un’affermazione algebrica, a partire da punti specifici? Questo è il quesito che andremo a risolvere passo dopo passo. Quando conosciamo il centro della circonferenza e un punto sulla sua circonferenza, possiamo facilmente trovare l’equazione della circonferenza. Ma cosa succede se abbiamo due punti sulla circonferenza ma non il centro? Oppure se abbiamo tre punti sulla circonferenza? Scopriamolo insieme!
- Cos'è l'equazione della circonferenza
- Come trovare l'equazione della circonferenza dati tre punti
- Come trovare l'equazione della circonferenza dati due punti
- Come trovare l'equazione della circonferenza dato un punto
Cos’è l’equazione della circonferenza
L’equazione della circonferenza è un’espressione algebrica che definisce tutti i punti di una circonferenza in un piano coordinato. In termini generali, l’equazione di una circonferenza con centro nelle coordinate (h, k) e raggio r è data da: £$(x – h)² + (y – k)² = r²$£.
Questa equazione ci offre un modo di rappresentare una circonferenza in termini puramente matematici. Ci permette di descrivere la circonferenza in modo preciso e completo, senza bisogno di disegnarla o visualizzarla. Di conseguenza, diventa possibile analizzare e manipolare la circonferenza usando strumenti algebrici, una caratteristica che si rivela fondamentale in una vasta gamma di contesti e, soprattutto, durante le interrogazioni a scuola!
Per esempio, in geometria, l’equazione della circonferenza è utilizzata per esplorare le relazioni tra circonferenze e altre forme geometriche, come rette o altre circonferenze. Inoltre, in matematica e nelle sue applicazioni in campi come la fisica e l’ingegneria, l’equazione della circonferenza è spesso fondamentale per risolvere problemi riguardanti movimenti circolari o proprietà di simmetria.
Come trovare l’equazione della circonferenza dati tre punti
Vediamo come trovare l’equazione di una circonferenza se conosciamo alcune sue caratteristiche. L’equazione generale di una circonferenza è £$x^2+y^2+ax+by+c=0$£
Per poter determinare i tre coefficienti £$a, b, c$£ servono tre condizioni. Sappiamo che per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza.
Allora, se conosciamo le coordinate di tre punti, possiamo scrivere un sistema di tre equazioni in tre incognite (i coefficienti £$a, b, c$£) sostituendo le loro coordinate alla £$x$£ e alla £$y$£ della circonferenza.
Come trovare l’equazione della circonferenza dati due punti
Complichiamo un po’ le cose! Per trovare l’equazione della circonferenza abbiamo ora queste informazioni: la circonferenza passa per due punti £$P$£ e £$Q$£, e il suo centro £$C$£, di cui non conosciamo le coordinate, si trova su una retta £$s$£.
Il passaggio per £$P$£ e £$Q$£ ci porta alle condizioni che ormai conosciamo bene: sostituendo le loro coordinate nell’equazione della circonferenza, abbiamo due condizioni.
E la terza condizione?
Ricordiamo che le coordinate del centro di una circonferenza sono £$C(-\frac{a}{2};-\frac{b}{2})$£
Se sappiamo che £$C$£ appartiene alla retta £$s$£, allora le sue coordinate, sostituite alla £$x$£ e alla £$y$£ della retta, devono rendere vera l’uguaglianza (cioè soddisfarne l’equazione).
Allora, sostituiamo le coordinate di £$C$£ nell’equazione della retta, ottenendo l’ultima condizione sui coefficienti!
Come trovare l’equazione della circonferenza dato un punto
Vogliamo ora trovare i coefficienti £$a,b,c$£ dell’equazione di una circonferenza, sapendo che passa per il punto e che il centro è £$C$£.
È un caso semplice e può essere affrontato in due modi:
- Il segmento £$\overline{PC}$£ è un raggio della circonferenza. Se calcoliamo la sua lunghezza possiamo usare poi la formula della circonferenza dati centro e raggio e risolvere così il problema
- La conoscenza delle coordinate del centro corrisponde a due condizioni sui coefficienti e il passaggio per £$P$£ dà la terza condizione
Possiamo quindi impostare il sistema di tre equazioni nelle tre incognite £$a, b, c$£ e scrivere poi l’equazione della circonferenza cercata.