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Grafico della circonferenza nel piano cartesiano: come disegnarlo

Agostino Sapienza

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

La circonferenza rappresenta uno dei concetti fondamentali della geometria. Esistono diversi modi per esplorare e capire la natura di questa figura geometrica, ma uno dei più emblematici è senza dubbio attraverso la sua rappresentazione nel piano cartesiano.

In questo articolo, ti guideremo attraverso i passaggi chiave per disegnare e comprendere il grafico di una circonferenza nel piano cartesiano, uno strumento che può essere utilizzato per visualizzare e risolvere una serie di problemi matematici.

In questo articolo imparerai:

  • Dall’equazione al grafico: come si disegna il grafico di una circonferenza data la sua equazione
  • Casi particolari: grafico della circonferenza se qualche coefficiente è uguale a zero

Cos’è una circonferenza e come si calcola la sua equazione

Una circonferenza è una curva piana chiusa in cui ogni punto è equidistante dal suo centro. Questa distanza fissa è nota come raggio della circonferenza. L’equazione standard di una circonferenza nel piano cartesiano, con centro in (h, k) e raggio r, è data da:

$$(x-h)² + (y-k)² = r²$$

Per calcolare l’equazione della circonferenza, è necessario conoscere le coordinate del centro e la lunghezza del raggio. Se ad esempio abbiamo una circonferenza con centro in (3, 2) e raggio di lunghezza 5, la sua equazione sarà £$(x-3)² + (y-2)² = 25$£. Ricorda, il raggio deve essere sempre un valore positivo.

Questa formula ci permette di descrivere la circonferenza in termini algebrici e di rappresentarla graficamente nel piano cartesiano. Così facendo, si apre un mondo di possibili applicazioni e problemi da risolvere.

Dall’equazione al grafico della circonferenza sul piano cartesiano

Vediamo come rappresentare sul piano cartesiano l’equazione della circonferenza £$x^2+y^2+ax+by+c=0$£

Iniziamo ricordando la relazione tra i coefficienti dell’equazione, il centro e il raggio e ricaviamo da queste relazioni le coordinate del centro e la misura del raggio £$\begin{cases} x_c=-\frac{a}{2}\\y_c=-\frac{b}{2}\\r=\sqrt{x_c^2+y_c^2-c}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}\end{cases}$£

Grafici particolari della circonferenza nel piano cartesiano

Se uno o più coefficienti a, b, c sono nulli, possiamo disegnare la circonferenza più facilmente.

  • Caso £$a=0,b\neq0$£ e £$c\neq0\Rightarrow x^2+y^2+by+c=0$£
    Nell’equazione della circonferenza manca il termine di primo grado di £$x$£: il centro sta sull’asse £$y$£
    Il centro ha coordinate £$C(0;-\frac{b}{2})$£ e il raggio misura £$r=\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}$£
  • Caso £$b=0,a\neq0$£ e £$c\neq0\Rightarrow x^2+y^2+ax+c=0$£
    Questa volta, nell’equazione manca il termine di primo grado in £$y$£: il centro sta sull’asse £$x$£
    Il centro ha coordinate £$C(-\frac{a}{2};0)$£ e il raggio misura £$r=\sqrt{\frac{a^2}{4}-c}$£
  • Caso £$c=0,a\neq0$£ e £$b\neq0\Rightarrow x^2+y^2+ax+by=0$£
    Se £$c\neq0$£, la circonferenza passa per l’origine degli assi!
    Il centro della circonferenza ha coordinate £$C(-\frac{a}{2};-\frac{b}{2})$£ e il raggio misura £$r=\sqrt{\frac{a^2}{4}-\frac{b^2}{4}}$£

Vediamo ora i casi in cui due coefficienti sono £$=0$£

  • Caso £$a=0,b=0$£ e £$c\neq0\Rightarrow x^2+y^2+c=0$£
    È il caso più semplice da disegnare! Non ci sono i termini di primo grado di £$x$£ e £$y$£
    Il centro è nell’origine £$O$£, £$C(0;0)$£ e il raggio misura £$r=\sqrt{-c}$£
    Attenzione!
    Per essere una circonferenza deve valere £$c<0$£
  • Caso £$a=0,c=0$£ e £$b\neq0\Rightarrow x^2+y^2+by=0$£
    La circonferenza passa per l’origine perché £$c=0$£
    Anche £$a=0$£ quindi il centro sta sull’asse £$y$£
    Le coordinate del centro sono £$C(0;-\frac{b}{2})$£ e il raggio misura £$r=\sqrt{\frac{b^2}{4}}=\frac{|b|}{2}$£
  • Caso £$b=0,c=0$£ e £$a\neq0\Rightarrow x^2+y^2+ax=0$£
    La circonferenza passa per l’origine perché £$c=0$£
    Anche £$b=0$£ quindi il centro sta sull’asse £$x$£
    Le coordinate del centro sono £$C(-\frac{a}{2};0)$£ e il raggio misura £$r=\sqrt{\frac{a^2}{4}}=\frac{|a|}{2}$£

Grafico e circonferenza: esercizi

Testo della sfida

Soluzione alla sfida

Continuano le lezioni di volo. Ora devi provare a disegnare la tua traiettoria e quella del barone rosso! Come saranno queste traiettorie?

Prova a risolvere la sfida! Se hai dei dubbi, guarda la lezione e poi la soluzione, ma allenati anche con gli esercizi sul grafico della circonferenza!