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Parabola e soluzione delle disequazioni di secondo grado

Agostino Sapienza

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Uno dei rapporti matematici meno conosciuti è quello tra le disequazioni di secondo grado e le parabole. Questo rapporto può sembrare astratto a prima vista, ma in realtà può aiutarci a comprendere meglio entrambi i concetti. In quest’articolo, ci immergeremo in questo legame, cercando di esplorarlo e di chiarirlo in termini semplici e accessibili a tutti.

La parabola nel piano cartesiano è associata a una equazione di secondo grado. Se vuoi risolvere una disequazione allora basta disegnare la parabola e vedere in quali intervalli il grafico è sopra (£$>$£) o sotto (£$<$£) l’asse delle ascisse. Così è molto più veloce.

Cosa sono le disequazioni di secondo grado e le parabole

Molto importante è avere una solida comprensione dei termini chiave che si utilizzeranno. Per questo, prima di tuffarci nella connessione tra disequazioni di secondo grado e parabole, prendiamoci un momento per definire questi due concetti e capirli meglio.

Una disequazione di secondo grado è simile a un’equazione di secondo grado, ma invece di cercare valori che rendono l’equazione vera, stiamo cercando un insieme di valori che rendono la disequazione vera. Una disequazione di secondo grado è una disequazione che può essere scritta nella forma £$ax^2 + bx + c > 0$£, £$ax^2 + bx + c < 0$£, £$ax^2 + bx + c >= 0$£ o £$ax^2 + bx + c <= 0$£, dove £$a, b, c$£ sono costanti, e £$a$£ non può essere zero.

D’altra parte, una parabola è una curva simmetrica su un piano. In termini matematici, una parabola è l’insieme di tutti i punti equidistanti da un punto fisso, noto come fuoco, e una linea fissa, nota come direttice. Quando una funzione quadratica viene rappresentata graficamente, il risultato è una parabola.

Sebbene sembrino concetti separati, c’è un interessante legame tra le disequazioni di secondo grado e le parabole: scopriamolo insieme!

Il legame tra la parabola e disequazioni di secondo grado

In questa lezione scoprirai il legame tra parabola e la risoluzione di una disequazione di II grado.
In generale una disequazione di II grado è scritta nella forma £$ax^2+bx+c>0$£ oppure £$ ax^2+bx+c<0$£ .

Attenzione! Possiamo trovare anche £$\ge $£ (maggiore e uguale) e £$\le$£ (minore e uguale).

Per semplicità consideriamo il caso in cui £$a>0$£ … tanto sappiamo che nel caso in cui £$a<0$£ possiamo cambiare i segni (ricordati di cambiare anche il verso della disuguaglianza!) e riportare quindi la disequazione al caso £$a>0$£. Scriviamo allora l’equazione della parabola "associata" £$y=ax^2+bx+c$£.

Risolvere una disequazione di II grado equivale a vedere per quali intervalli della £$x$£ la parabola è:

  • sopra l’asse £$x$£, se il segno di disuguaglianza è £$ > $£;
  • sotto l’asse £$x$£, se il segno di disuguaglianza è £$ < $£.

Vediamo il caso di £$ax^2+bx+c>0 $£
Chiamiamo £$x_1$£ e £$x_2$£ le soluzioni dell’equazione associata alla disequazione.

  1. Se £$\Delta<0$£ (con £$a>0$£).
    L’equazione è impossibile perché per trovare le soluzioni dovremmo calcolare la radice quadrata di un numero negativo, che non esiste.
    La parabola non ha intersezioni con l’asse £$x$£ ed è sempre sopra l’asse £$x$£. La disequazione è sempre vera!
  2. Se £$\Delta=0 $£ (con £$a>0$£).
    Le 2 soluzioni sono coincidenti (£$x_1=x_2$£).
    La parabola interseca l’asse £$x$£ solo nel vertice, ed è sempre sopra l’asse £$x$£.
    Dunque nel punto di ascissa £$x=x_v$£, la £$y$£ della parabola è £$=0$£.
    La disequazione è quindi valida per ogni £$x$£ ad esclusione della £$x$£ del vertice se il simbolo di disuguaglianza non comprende l’uguale.
  3. Se £$\Delta>0 $£ (con £$a>0$£)
    Le 2 soluzioni sono distinte. La parabola interseca l’asse £$x$£ in £$x_1$£ e in £$x_2$£, ed è sotto l’asse £$x$£ tra £$x_1$£ e £$x_2$£ e sopra altrimenti.
    La parabola è sopra l’asse delle £$x$£ per tutti i valori esterni all’intervallo compreso tra £$x_1$£ e £$x_2$£.

Vediamo ora il caso di £$ax^2+bx+c<0$£

  1. Se £$\Delta<0 $£ (con £$a<0$£).
    L’equazione è impossibile perché per trovare le soluzioni dovremmo calcolare la radice di un numero negativo, che non esiste.
    La parabola non ha intersezioni con l’asse £$x$£ ed è sempre sopra l’asse £$x$£.
    La disequazione è quindi impossibile poiché la parabola non è mai sotto l’asse £$x$£: non è mai negativa.
  2. Se £$ \Delta=0 $£ (con £$a<0$£).
    Le 2 soluzioni sono coincidenti (£$x_1=x_2$£).
    La parabola interseca l’asse £$x$£ solo nel vertice, dopodiché è sempre sopra l’asse £$x$£.
    La disequazione quindi non è mai valida se il simbolo di disuguaglianza non comprende l’uguale, ed è valida solo per £$x=-\frac{b}{2a}$£ (£$x$£ del vertice) se il simbolo di disuguaglianza comprende anche l’uguale.
  3. Se £$\Delta>0 $£ (con £$a>0$£)
    Le 2 soluzioni sono distinte.
    La parabola interseca l’asse £$x$£ in £$x_1$£ e in £$x_2$£, ed è sotto l’asse £$x$£ tra £$x_1$£ e £$x_2$£ e sopra altrimenti.
    La disequazione è quindi valida per ogni £$x_1$£

Interrogazione su parabola e soluzione disequazioni di secondo grado: le possibili domande

Risolvere le disequazioni usando le proprietà della parabola è utile perché velocizzi di molto i calcoli. Qui trovi alcune domande che potresti trovare nella verifica oppure all’interrogazione. Sei pronto?

Se vuoi allenarti di più, fai gli esercizi sulla parabola e le disequazioni di secondo grado. Sono tutti esercizi spiegati!

Esercizio sulla parabola e le disequazioni di secondo grado

Ecco la sfida!

Soluzione alla sfida

Come fai a capire quanto è lungo un dosso, se ha la forma di una parabola? È facile! Guarda la lezione e allenati con gli esercizi su parabola e disequazioni di secondo grado e prova a risolvere la sfida. Se hai dei dubbi, guarda la soluzione!