Formule e teoremi di trigonometria per le superiori

Hai dimenticato una formula di trigonometria?

Teoremi come quello di Pitagora, le leggi dei seni e dei coseni non solo facilitano la comprensione di relazioni geometriche e trigonometriche fondamentali, ma aprono anche la strada a comprensioni più avanzate in geometria e analisi.

In questa lezione puoi ripassare tutte le formule per risolvere gli esercizi di trigonometria, così puoi concentrarti sul procedimento!

Qui trovi tutte le formule di trigonometria che servono:

• primo teorema dei triangoli rettangoli
• secondo teorema dei triangoli rettangoli
• teorema dei seni
• teorema del coseno (o teorema di Carnot)
• teorema della corda e area del triangolo

• Primo teorema dei triangoli rettangoli
• Secondo teorema dei triangoli rettangoli
• Teorema dei seni
• Teorema del coseno o di Carnot
• Teorema della corda e area del triangolo

Primo teorema dei triangoli rettangoli

Trigonometria – Primo teorema dei triangoli rettangoli

Il Primo Teorema dei Triangoli Rettangoli, noto anche come il Teorema di Pitagora, è uno dei fondamenti della geometria e stabilisce una relazione cruciale tra i lati di un triangolo rettangolo. Il teorema afferma che:

In un triangolo rettangolo, il quadrato della lunghezza dell’ipotenusa (il lato opposto all’angolo retto) è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze degli altri due lati.

£$\text{cateto}=\text{ipotenusa}\cdot \text{seno dell’angolo opposto}$£ £$\text{cateto}=\text{ipotenusa}\cdot \text{coseno dell’angolo adiacente}$£

Quindi, in riferimento alla figura, il primo teorema dei triangoli rettangoli diventa:

£$a=c\cdot sen\,\alpha \qquad$£ £$a=c\cdot cos\,\beta$£

£$b=c\cdot sen\,\beta \qquad$£ £$b=c\cdot cos\,\alpha$£

Secondo teorema dei triangoli rettangoli

Trigonometria – Secondo teorema dei triangoli rettangoli

£$\text{cateto}_{1}=\text{cateto}_{2}\cdot \text{tangente dell’angolo opposto al cateto}_{1}$£ £$\text{cateto}_{1}=\text{cateto}_{2}\cdot \text{cotengente dell’angolo adiacente al cateto}_{1}$£

Quindi, in riferimento alla figura, il secondo teorema dei triangoli rettangoli diventa:

£$a=b\cdot tg\,\alpha \qquad$£ £$a=b\cdot cotg\,\beta$£

£$b=a\cdot tg\,\beta \qquad$£ £$b=a\cdot cotg\,\alpha$£

Teorema dei seni

Il Teorema dei Seni stabilisce una relazione proporzionale tra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei suoi angoli opposti.

Dice che: in ogni triangolo, il rapporto tra la misura dei lati e del seno dell’angolo opposto è costante.

$$\frac{a}{sen\,\alpha}=\frac{b}{sen\,\beta}=\frac{c}{sen\,\gamma}$$

Questo teorema è particolarmente utile per trovare la lunghezza di un lato quando sono noti un altro lato e gli angoli opposti, o per determinare la misura di un angolo quando sono note le lunghezze di due lati e l’angolo opposto a uno di essi.

Teorema del coseno o di Carnot

Teorema del coseno (teorema di Carnot)

Il Teorema del Coseno generalizza il Teorema di Pitagora ai triangoli non rettangoli e fornisce una formula per calcolare la lunghezza di un lato di un triangolo conoscendo le lunghezze degli altri due lati e l’angolo compreso tra di essi.

$$a^2=b^2+c^2-2\cdot b c \cdot cos\,\alpha$$ $$b^2=a^2+c^2-2\cdot a c \cdot cos\,\beta$$ $$c^2=a^2+b^2-2\cdot ab \cdot cos\,\gamma$$

Teorema della corda e area del triangolo

La formula per calcolare l’area di un triangolo è: £$A=\frac{1}{2}\cdot \text{lato}_{1}\cdot \text{lato}_{2}\cdot \text{seno dell’angolo compreso}$£

Guardando la figura, le formule per calcolare l’area del triangolo sono:

£$A=\frac{1}{2}\cdot ab\cdot sen\,\gamma \qquad A=\frac{1}{2}\cdot bc\cdot sen\,\alpha \qquad A=\frac{1}{2}\cdot ac\cdot sen\,\beta$£

Teorema della corda: la misura di una corda è uguale al diametro moltiplicato per il seno dell’angolo alla circonferenza che insiste sulla corda.