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Le tavole di verità: logica e condizioni

Agostino Sapienza

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

La logica è fondamentale per creare dei ragionamenti corretti. Si basa sulle regole riassunte nelle tavole di verità. In questa lezione puoi ripassare tutte le regole di logica che ti servono per costruire dei ragionamenti (matematici e non) corretti.

La capacità di costruire e interpretare tavole di verità è una competenza preziosa in matematica, informatica, filosofia e ogni campo che richieda un’analisi logica rigorosa. Esse offrono una rappresentazione visiva che aiuta a comprendere meglio come varie proposizioni interagiscano tra loro all’interno di un contesto logico, rendendo più intuitiva l’analisi di affermazioni complesse.

Ma come costruire dei ragionamenti corretti? Ci vengono qui in aiuto le regole di logica dei predicati, che riassumiamo nelle tavole di verità. Vediamole insieme.

Cosa sono le tavole di verità

Le tavole di verità sono uno strumento fondamentale nella logica matematica, utilizzate per rappresentare in modo sistematico e chiaro come i valori di verità (vero o falso) di affermazioni composte dipendano dai valori di verità delle affermazioni più semplici che le compongono.

Una tavola di verità è strutturata in colonne e righe: le colonne rappresentano le variabili proposizionali (spesso indicate con lettere come p, q, r, …) e tutte le possibili combinazioni dei loro valori di verità, oltre al risultato delle operazioni logiche effettuate su di esse. Le righe, d’altro canto, elencano tutte le possibili combinazioni dei valori di verità per le proposizioni coinvolte. Ad esempio, per due variabili proposizionali (p e q), ci sarebbero quattro righe corrispondenti alle combinazioni VV (vero-vero), VF (vero-falso), FV (falso-vero) e FF (falso-falso).

Congiunzione e disgiunzione: tavole di verità

Nelle tavole di verità, A e B sono due proposizioni. La colonna A £$\wedge$£ B indica i valori di verità della congiunzione mentre la colonna A £$\vee$£ B indica i valori di verità della disgiunzione.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{A} \wedge \textbf{B} & \textbf{A} \vee \textbf{B} \\ \hline V & V & V & V \\ \hline V & F & F & V \\ \hline F & V & F & V \\ \hline F & F & F & F \\ \hline \end{array}$$

Implicazione e coimplicazione logica: tavole di verità

Nelle tavole di verità, A e B sono le due proposizioni. La colonna A £$ \Rightarrow $£ B indica i valori di verità dell’implicazione logica mentre la colonna A £$ \Leftrightarrow $£ B indica i valori di verità della coimplicazione.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{A} \Rightarrow \textbf{B} & \textbf{A} \Leftrightarrow \textbf{B} \\ \hline V & V & V & V \\ \hline V & F & F & F \\ \hline F & V & V & F \\ \hline F & F & V & V \\ \hline \end{array}$$

Modus ponens e modus tollens

Il modus ponens e il modus tollens sono due forme di ragionamento, cioè delle proposizioni che sono sempre vere qualunque sia il valore di verità delle singole proposizioni che le compongono.

MODUS PONENS: £$[(\textbf{A} \Rightarrow \textbf{B}) \wedge \textbf{A}] \Rightarrow \textbf{B}$£

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{A} \Rightarrow \textbf{B} & [(\textbf{A}\Rightarrow \textbf{B}) \wedge \textbf{A}] & \color{green}{[(\textbf{A} \Rightarrow \textbf{B}) \wedge \textbf{A}] \Rightarrow \textbf{B}} \\ \hline V & V & V & V & \color{green} V \\ \hline V & F & F & F & \color{green} V \\ \hline F & V & V & F & \color{green} V \\ \hline F & F & V & F & \color{green} V \\ \hline \end{array}$$

MODUS TOLLENS: £$[(\textbf{A} \Rightarrow \textbf{B}) \wedge \overline{\textbf{B}}] \Rightarrow \overline{\textbf{A}}$£

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{A} \Rightarrow \textbf{B} & \overline{\textbf{B}} & [(\textbf{A}\Rightarrow \textbf{B}) \wedge \overline{\textbf{B}}] & \color{green}{[(\textbf{A} \Rightarrow \textbf{B}) \wedge \overline{\textbf{B}}] \Rightarrow \overline{\textbf{A}}} \\ \hline V & V & V & F & F &\color{green} V \\ \hline V & F & F & V & F & \color{green} V \\ \hline F & V & V & F & F &\color{green} V \\ \hline F & F & V & V & V & \color{green} V \\ \hline \end{array}$$