Calcolare i limiti: il formulario completo

I limiti sono uno dei concetti fondamentali del calcolo, essenziali per comprendere il comportamento delle funzioni matematiche, soprattutto quando si avvicinano a determinati valori o all’infinito.

Capire i limiti è importante, ma può anche diventare complesso, soprattutto quando ci si imbatte in funzioni più elaborate o in situazioni che sfuggono ai metodi di calcolo standard.

Qui entra in gioco l’importanza di avere a disposizione un formulario. Un formulario dei limiti è una raccolta di regole, formule e tecniche che forniscono una strada diretta per il calcolo dei limiti, semplificando significativamente il processo. Con un formulario ben strutturato, è possibile affrontare una vasta gamma di problemi di limiti con maggiore sicurezza. Vediamolo insieme!

• Cosa include un formulario dei limiti
• Tabella dei limiti notevoli
• Forme indeterminate dei limiti: la tabella
• Operazioni con i limiti

Cosa include un formulario dei limiti

Con il formulario dei limiti potrai ripassare i limiti notevoli, le operazioni con i limiti e sapere quali sono le forme indeterminate che potresti trovarti davanti quando stai calcolando i limiti di una funzione.

Per calcolare i limiti di una funzione serve tanto esercizio, ma puoi usare alcuni trucchetti per risolverli più facilmente. Ovviamente non basta avere le formule dei limiti per fare tutto giusto. Devi prima avere chiaro il concetto e poi puoi calcolare i limiti usando alcune formule che trovi in questa lezione:

• tabella dei limiti notevoli
• forme indeterminate
• operazioni con i limiti (prodotto, rapporto, elevamento di funzioni)

Tabella dei limiti notevoli

I limiti notevoli servono a risolvere le forme indeterminate. Questi limiti forniscono regole e tecniche che permettono di semplificare e calcolare limiti che altrimenti richiederebbero approcci matematici più elaborati, aiutando a determinare il comportamento di funzioni in punti specifici o quando tendono all’infinito.

Ecco le tabelle dei limiti notevoli:

£$ \displaystyle \begin{array}{|cccc|c|c|c|} \hline{\text{Esponenziali e logaritmi}}\\ \hline{\lim\limits_{x\to \pm\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{x}=e^{a}}\\ \hline {\lim\limits_{x\to 0}(1+ax)^{\frac{1}{x}}=e^{a}} \\ \hline {\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1} \\ \hline {\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x – 1}{x}=1} \\ \hline {\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln(a)} \\ \hline \end{array}$£ £$ \displaystyle \begin{array}{|cccc|c|c|c|}\hline{\text{Funzioni goniometriche}}\\ \hline{\lim\limits_{x\to 0}\frac{sen\,x}{x}=1}\\ \hline {\lim\limits_{x\to 0}\frac{sen\,ax}{bx}=\frac{a}{b}} \\ \hline {\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-cos\,x}{x}=0} \\ \hline {\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-cos\,x}{x^2}=\frac{1}{2}} \\ \hline {\lim\limits_{x\to 0}\frac{tgx}{x}=1} \\ \hline \end{array}$£

Forme indeterminate dei limiti: la tabella

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|} {0\cdot \infty}& {\dfrac{\infty}{\infty}} & {\dfrac{0}{0}} & {\infty – \infty} & {1^{\infty}} & {\infty^{0}} & {0^{0}} \end{array}$$

Operazioni con i limiti

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline{\lim\limits_{x\to a} f(x)} & {\lim\limits_{x \to a}g(x)} & \lim\limits_{x\to a} f(x)+g(x) & \lim\limits_{x\to a } f(x)\cdot g(x) & \lim\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} \\ \hline{\ell} & m & \ell+m & \ell\cdot m & \frac{\ell}{m} \\ \hline {\pm \infty} & {m} & {\pm \infty} & \pm \infty & \pm \infty \\ \hline {\ell} & \pm \infty & \pm \infty & \pm \infty & 0 \\ \hline {\pm \infty} & 0 & \pm \infty & {\text{indeterm.}} & \pm \infty \\ \hline {0} & \pm \infty & \pm \infty & \text{indeterm.} & 0 \\ \hline {+\infty} & +\infty & +\infty & \infty & \text{indeterm.}\\ \hline -\infty & -\infty & -\infty & +\infty & \text{indeterm.} \\ \hline +\infty & -\infty & \text{indeterm.} & -\infty & \text{indeterm.} \\\hline \end{array}$$