Calcolare i logaritmi: il formulario completo
Ricordi tutte le proprietà dei logaritmi? In questa lezione trovi tutte le formule e le proprietà dei logaritmi da usare quando risolvi le equazioni e le disequazioni logaritmiche.
In questa lezione potrai ripassare tutte le formule e le proprietà di cui godono i logaritmi, in particolare:
- le proprietà di prodotto, rapporto e potenza degli argomenti
- la formula del cambiamento di base
Cos’è un logaritmo
Un logaritmo è un’operazione matematica che risponde alla domanda: "A quale potenza deve essere elevata una base specifica per ottenere un certo numero?"
I logaritmi sono fondamentali in diverse aree della scienza e dell’ingegneria, particolarmente quando si trattano fenomeni che crescono esponenzialmente o decrescono, come il decadimento radioattivo o la crescita delle popolazioni.
Cosa include un formulario dei logaritmi
Un formulario dei logaritmi contiene una serie di formule e identità logaritmiche che facilitano la risoluzione di equazioni e la manipolazione di espressioni che includono logaritmi.
Le formule più comuni includono la proprietà del prodotto, la proprietà del quoziente e la proprietà della potenza. Un formulario potrebbe anche includere formule per il cambiamento di base e per la risoluzione di equazioni logaritmiche, oltre a serie di espansioni per logaritmi di numeri piccoli o vicini a un valore noto, utili per calcoli approssimativi o analitici.
Proprietà dei logaritmi
I logaritmi godono di tre principali proprietà (che discendono dalle proprietà delle potenze):
- Proprietà del Prodotto: Questa proprietà permette di trasformare il logaritmo di un prodotto di due numeri in una somma di logaritmi. Essenzialmente, calcolare il logaritmo di un prodotto è lo stesso che sommare i logaritmi di ciascuno dei fattori multipli. Questa proprietà è estremamente utile per semplificare la risoluzione di equazioni che coinvolgono prodotti di variabili.
£$\Rightarrow log_{a}(B \cdot C)=log_{a}(B)+log_{a}(C)$£ con £$a,B,C >0$£ e £$a\ne 1$£ - Proprietà del Quoziente: Analogamente alla proprietà del prodotto, la proprietà del quoziente descrive come il logaritmo di un quoziente (il risultato della divisione di due numeri) possa essere rappresentato come la differenza tra il logaritmo del numeratore e il logaritmo del denominatore. Questa proprietà è utilizzata per semplificare espressioni che includono divisioni.
£$\Rightarrow log_{a}\left(\frac{B}{C}\right)=log_{a}(B)-log_{a}(C)$£ con £$a,B,C >0$£ e £$a\ne 1$£ - Proprietà della Potenza: Questa proprietà consente di trattare il logaritmo di un numero elevato a una potenza. Specificatamente, trasforma il logaritmo di una potenza in un prodotto tra l’esponente e il logaritmo della base. È particolarmente utile quando si gestiscono esponenti in equazioni logaritmiche, consentendo una semplificazione significativa delle operazioni.
£$\Rightarrow log_{a}(B^{C})=C\cdot log_{a}(B)$£ con £$a,B >0$£ e £$a\ne 1$£
Formula del cambiamento di base
La formula del cambiamento di base è uno strumento essenziale quando si lavora con logaritmi di diverse basi. Questa formula permette di convertire un logaritmo da una base a un’altra, facilitando il calcolo quando le basi disponibili non sono direttamente compatibili con la base richiesta in un problema.
Lo facciamo applicando questa formula:
$$log_{a}(b)=\frac{log_{c}(b)}{log_{c}(a)}$$con £$a,b,c >0 $£ e £$a,c\ne 1$£