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Equazioni e disequazioni goniometriche: tutte le formule

Agostino Sapienza

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Le equazioni e disequazioni goniometriche sono fondamentali nello studio delle funzioni trigonometriche, che descrivono le relazioni tra gli angoli e i lati dei triangoli.

Le equazioni goniometriche coinvolgono le funzioni seno, coseno, tangente e loro inverse, e richiedono la determinazione degli angoli che soddisfano una particolare relazione. Le disequazioni goniometriche, invece, stabiliscono condizioni di disuguaglianza tra queste funzioni e vengono utilizzate per individuare gli intervalli di angoli che soddisfano tali condizioni.

Non ti ricordi le formule goniometriche? Qui trovi un formulario completo delle formule goniometriche che ti servono per risolvere le equazioni e disequazioni goniometriche!

Le formule goniometriche che trovi in questa lezione sono:

  • le formule di addizione e sottrazione del seno, coseno, tangente e cotangente
  • il metodo dell’angolo aggiunto
  • le formule di duplicazione
  • le formule di bisezione
  • le formule parametriche
  • le formule di prostaferesi
  • le formule di Werner

Formule goniometriche di addizione e sottrazione

Ecco le formule goniometriche di addizione e sottrazione di seno, coseno, tangente e cotangente:

£$ \begin{array}{|c|c|} \hline & \textbf{Formule di addizione} \\ \hline \textbf{seno} & sen(\alpha+\beta)=sen\alpha \, cos\beta+cos\alpha \, sen\beta \\ \hline{\textbf{coseno}}& cos(\alpha+\beta)=cos\alpha \, cos\beta-sen\alpha \, sen\beta \\ \hline{\textbf{tangente}} & tg(\alpha+\beta)=\dfrac{tg\alpha+tg\beta}{1-tg\alpha \, tg\beta} \\ \hline{\textbf{cotangente}} & cotg(\alpha+\beta)=\dfrac{cotg\alpha \, cotg\beta-1}{cotg\alpha+cotg\beta} \\ \hline \end{array} $£ £$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \textbf{Formule di sottrazione} \\ \hline{\textbf{seno}} & sen(\alpha-\beta)= sen\alpha \, cos\beta-cos\alpha \, sen\beta\\\hline{\textbf{coseno}}& cos(\alpha-\beta)= cos\alpha \, cos\beta+sen\alpha \, sen\beta\\\hline{\textbf{tangente}}{} & tg(\alpha-\beta)=\dfrac{tg\alpha-tg\beta}{1+tg\alpha \, tg\beta}\\\hline{\textbf{cotangente}}{} & cotg(\alpha-\beta)=\dfrac{cotg\alpha \, cotg\beta+1}{cotg\beta-cotg\alpha} \\\hline \end{array} $£

Metodo dell’angolo aggiunto

Serve per trasformare una funzione del tipo £$y=a \,sen \,x+ b\,cos\,x$£ in

  • £$y=A\,sen(x+\phi)$£ se £$A=\sqrt{a^2+b^2}$£ e £$tg\phi=\frac{b}{a}$£
  • £$y=A \, cos(x+\phi)$£ se £$A=\sqrt{a^2+b^2}$£ e £$tg\phi=-\frac{a}{b}$£

Formule goniometriche di duplicazione

Ecco le formule goniometriche di duplicazione del seno, coseno, tangente e cotangente.

$$ \begin{array}{|c|c|c|}\hline & \textbf{Formule di duplicazione} \\ \hline \textbf{seno} & sen2\alpha=2sen\alpha \, cos\alpha \\ \hline \textbf{coseno} & cos2\alpha=cos^2\alpha -sen^2\alpha \\ \hline \textbf{tangente} & tg2\alpha=\dfrac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}\\ \hline \textbf{cotangente} & cotg2\alpha=\dfrac{cotg^2\alpha -1}{2cotg\alpha}\\ \hline \end{array} $$

Formule goniometriche di bisezione

Ecco le formule goniometriche di bisezione del seno, coseno, tangente e cotangente.

$$ \begin{array} {|c|c|}\hline & \textbf{Formule di bisezione} \\ \hline \textbf{seno} & sen\frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}}\\ \hline \textbf{coseno} & cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}} \\ \hline \textbf{tangente} & tg\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{1+cos\alpha}} \\ \hline \textbf{cotangente} & cotg\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{1-cos\alpha}}\\ \hline \end{array} $$

Formule parametriche razionali

Le formule parametriche razionali sono $$\begin{cases} sen\alpha=\frac{2t}{1+t^2} \\ cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{cases}$$

con £$t=tg\frac{\alpha}{2}$£

Formule di prostaferesi

Le formule di prostaferesi consentono di esprimere il prodotto di funzioni trigonometriche come somma o differenza di altre funzioni trigonometriche. Sono utili per trasformare prodotti in somme o differenze, facilitando l’integrazione e la risoluzione di equazioni trigonometriche.

Le formule di prostaferesi sono:

  • £$sen\,p+sen\,q= 2sen\left(\frac{p+q}{2}\right) \cdot cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$£
  • £$sen\,p-sen\,q= 2cos\left(\frac{p+q}{2}\right) \cdot sen \left(\frac{p-q}{2} \right)$£
  • £$cos\,p+cos\,q= 2cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cdot cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$£
  • £$cos\,p-cos\,q= -2sen\left(\frac{p+q}{2}\right)\cdot sen\left(\frac{p-q}{2}\right)$£

Formule di Werner

Le formule di Werner permettono di esprimere la somma o la differenza di funzioni trigonometriche come prodotto di altre funzioni trigonometriche. Sono particolarmente utili per la trasformazione e semplificazione di somme o differenze di funzioni trigonometriche.

Le formule di Werner sono:

  • £$sen\alpha\cdot sen\beta= \frac{1}{2}[cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)]$£
  • £$cos\alpha\cdot cos\beta= \frac{1}{2}[cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)]$£
  • £$sen\alpha\cdot cos\beta= \frac{1}{2}[sen(\alpha+\beta)+sen(\alpha-\beta)]$£