Gli integrali: formula di integrazione per parti
Le funzioni occupano un posto centrale nel calcolo integrale, uno strumento matematico potente, impiegato per determinare aree, volumi, valori centrali e molte altre grandezze legate alla somma continua di infinitesimi.
Una funzione da integrare, nota come integrando, può assumere forme diverse, dalle più semplici funzioni polinomiali alle complesse espressioni trigonometriche, esponenziali o logaritmiche.
Cosa succede se la funzione da integrare è il prodotto di più funzioni? Semplice, basta usare il metodo di integrazione per parti. Ma che cos’è? Qui scoprirai il metodo di integrazione per parti per calcolare gli integrali di un prodotto di funzioni!
- Qual è la formula di integrazione per parti
- Integrali del logaritmo e dell'arcotangente
- Tecniche di integrazione per parti
- Integrazioni per parti multiple
- Esercizi sul metodo di integrazione per parti
- Sfida sul metodo di integrazione per parti
Qual è la formula di integrazione per parti
Metodo di integrazione per parti - Galleria
Ricordi la formula per derivare il prodotto di due funzioni £$f$£ e £$g$£? La derivata del prodotto £$f \cdot g$£ è uguale alla derivata della prima per la seconda non derivata, più la prima non derivata per la derivata della seconda: £$f’g+fg’$£. Da questa formula ricaviamo (e quindi dimostriamo) la formula dell’integrazione per parti.
La formula di integrazione per parti è:
£$\int f'(x) \ g(x) dx= f(x) \ g(x) – \int f(x) \ g'(x) dx$£.
Qual è l’obiettivo? Quello di scomporre una funzione complicata di cui non sappiamo fare l’integrale, nel prodotto di due funzioni più semplici, meno un integrale che sappiamo svolgere.
Come svolgere i calcoli? Individua i due fattori e fai in modo che sotto il segno di integrale compaia:
- un fattore differenziale £$f'(x)$£, cioè una funzione derivata;
- un fattore finito £$g(x)$£, cioè una funzione.
Scegli il fattore differenziale e il fattore finito pensando che:
- di £$f'(x)$£ devi fare l’integrale per trovare £$f(x)$£;
- di £$g(x)$£ devi fare la derivata per trovare £$g'(x)$£.
e che quindi questi calcoli devono risultare facili, in particolare per risolvere £$\int f(x)g'(x)dx$£, che è la seconda parte della formula.
Integrali del logaritmo e dell’arcotangente
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Due funzioni conosciute che non ammettono integrale "immediato" sono il logaritmo e l’arcotangente. Per integrarle possiamo vederle come moltiplicate per la funzione derivata e costante uguale a 1: £$f'(x)=1$£, da cui £$f(x)=x+c$£ . In questo modo troviamo:
- £$\int \ln x \ dx = \int (1 \cdot \ln x) \ dx= x \ln x – x +c$£;
- £$\int arctg \ x \ dx= \int (1 \cdot arctg \ x) \ dx= x \ arctg \ x – \frac{1}{2} \ln (1+x^2)+c$£.
Tecniche di integrazione per parti
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Ti conviene scegliere:
- £$e^{x}$£, £$sen \ x$£ e £$cos \ x$£ come fattore differenziale, perché, integrati o derivati, i calcoli non cambiano in quanto il seno ed il coseno si "scambiano", mentre l’esponenziale rimane uguale a se stesso;
- £$\ln x$£ e £$arctg \ x$£ come fattore finito, perché derivandoli otteniamo una funzione polinomiale e quindi più semplice da integrare.
Integrazioni per parti multiple
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Quando hai l’integrale del prodotto di due funzioni del tipo £$e^x$£, £$sen \ x$£ o £$cos \ x$£, allora dovrai fare più integrali per parti uno dietro l’altro.
Come risolverli?
- Scegli il fattore differenziale e il fattore finito a tuo piacere, non ce ne è uno che convenga più dell’altro;
- sii coerente con la tua scelta, nelle integrazioni per parti successive mantieni sempre le stesse funzioni come fattori differenziali e fattori finiti;
- hai concluso quando ritrovi l’integrale di partenza;
- ora ragiona come se stessi risolvendo un’equazione dove l’incognita è l’integrale.
Esercizi sul metodo di integrazione per parti
Testo degli esercizi:
Metodo di integrazione per parti: esempi ed esercizi - Galleria
Soluzione:
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Il metodo di integrazione per parti è fondamentale. La maggior parte delle funzioni sono prodotti di più funzioni. Ecco perché ti suggeriamo di provare a risolvere questi esercizi sul metodo di integrazione per parti!
Sfida sul metodo di integrazione per parti
Testo:
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Soluzione:
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Come calcolare la distanza percorsa dalla pallina se conosciamo la funzione velocità? Beh dovremo integrare. Peccato che la funzione velocità sia una funzione prodotto…
Niente panico: basta usare il metodo di integrazione per parti. Se non ti ricordi cos’è, fai un veloce ripasso della lezione!