Calcolo di integrali: teorema fondamentale e della media
In analisi matematica lo studio dell’integrale è legato allo studio dell’area. In particolare puoi calcolare l’area sottesa dal grafico di una funzione o compresa fra quello di più funzioni, risolvendo un integrale definito.
Come si calcola un integrale definito? Per imparare a calcolare gli integrali definiti, è necessario conoscere il teorema della media, il concetto di funzione integrale e, soprattutto, il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Gli enunciati, le dimostrazioni e gli esercizi svolti sui teoremi degli integrali definiti ti aiuteranno a capire la formula per il calcolo dell’integrale definito, da applicare poi per il calcolo di aree e semplificare con le proprietà dell’integrale definito.
- Teorema fondamentale del calcolo integrale
- Calcolo degli integrali definiti
- Teorema della media
- Concetto di funzione integrale
- Esercizi sui teoremi degli integrali
- Sfida sugli integrali definiti
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Teorema fondamentale e calcolo di integrali definiti - Galleria
Il teorema fondamentale del calcolo integrale dimostra che l’integrale è l’operazione inversa della derivata. L’enunciato del teorema, detto anche teorema di Torricelli Barrow, è: data la funzione £$f(x)$£, continua in £$[a,b]$£, la funzione integrale £$F(x)=\int_a^x f(t)dt $£ è derivabile £$\forall x \in [a,b]$£ e la sua derivata è proprio la funzione £$f$£: £$F'(x)=f(x)$£.
La dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale usa la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale ed il teorema della media.
Calcolo degli integrali definiti
Teorema fondamentale e calcolo di integrali definiti - Galleria
Un integrale definito è un concetto fondamentale del calcolo integrale che serve a calcolare l’area sotto la curva di una funzione matematica in un intervallo specificato. Questo tipo di integrale è un modo per quantificare somme di aree, volumi, o altre quantità che si accumulano continuamente.
Per calcolare un integrale definito devi:
- calcolare l’integrale indefinito associato, in questo modo troviamo l’insieme delle primitive £$G(x)$£;
- applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale e troviamo quanto vale £$G$£ negli estremi dell’intervallo di integrazione. Troviamo: £$\int_a^b f(x) dx=G(b)-G(a)$£.
Teorema della media
Teorema della media e concetto di funzione integrale - Galleria
I teoremi della media sono strumenti potenti nella matematica applicata e teorica. Essi sono utilizzati per dimostrare altre proprietà matematiche, per risolvere equazioni differenziali, e per stabilire limiti e approssimazioni di funzioni. In particolare, il teorema del valore medio per le funzioni è spesso utilizzato per dimostrare che due funzioni con derivate uguali differiscono solo per una costante, mentre il teorema del valore medio per gli integrali è essenziale nella fisica e nell’ingegneria per calcolare valori medi di quantità fisiche.
Il teorema della media rappresenta una proprietà importante degli integrali definiti: se £$f(x)$£ è una funzione continua in un intervallo £$[a,b]$£, esiste almeno un punto £$c$£ interno all’intervallo tale che £$f(c)=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$£.
Per dimostrare il teorema della media devi saper calcolare l’integrale di una costante e dovrai usare il teorema dei valori medi.
Dal punto di vista geometrico il teorema della media ci dice che il valor medio £$f(c)$£ è l’altezza del rettangolo di base £$b-a$£.
Concetto di funzione integrale
Teorema della media e concetto di funzione integrale - Galleria
Se £$f$£ è una funzione continua in £$[a,b]$£ e £$x$£ è un punto interno all’intervallo, definiamo funzione integrale di £$f$£ in £$[a,b]$£ la funzione £$F(x)=\int_a^x f(t)dt$£.
La funzione integrale associa ad ogni £$x \in [a,b]$£ il numero reale £$ \int_a^x f(t)dt $£. Se £$f(t)$£ è positiva in £$[a,b]$£ la funzione integrale £$F(x)$£ rappresenta, al variare di £$x$£, l’area della parte di piano compresa tra la curva grafico di £$f$£ , l’asse delle ascisse, e le rette £$t=a$£ e £$t=x$£.
Esercizi sui teoremi degli integrali
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Soluzione:
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Per arrivare preparato all’interrogazione sui teoremi degli integrali, prova a risolvere questi esercizi! Se hai dubbi, puoi ripassare la lezione!
Puoi guardare la soluzione per controllare di aver fatto giusto!
Sfida sugli integrali definiti
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Soluzione:
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Come calcolare l’altezza media delle onde del mare? Beh con gli integrali, è ovvio! Ma devi usare un teorema in particolare. Sai quale?