Gli integrali definiti: linearità, monotonia, simmetria
Gli integrali definiti sono un concetto fondamentale nel campo del calcolo matematico, essenziali per comprendere e applicare l’analisi matematica in vari contesti. Un integrale definito è sostanzialmente una misurazione dell’area sotto la curva di una funzione, tra due punti specifici su un grafico. Questa area rappresenta l’accumulo totale o il totale netto del valore della funzione lungo un intervallo.
Nello studio degli integrali definiti, si incontrano concetti chiave come la linearità, la monotonia e la simmetria. La linearità si riferisce alla proprietà secondo cui l’integrale della somma di due funzioni è uguale alla somma dei loro integrali. In altre parole, l’integrazione, come operazione, è lineare. Questo principio è cruciale poiché semplifica il calcolo degli integrali di funzioni più complesse, decomponendole in funzioni più semplici.
La monotonia, nel contesto degli integrali, riguarda la relazione tra le funzioni e i loro integrali. Se una funzione è sempre crescente (o decrescente) in un intervallo, il suo integrale rifletterà questa crescita o decrescita. Questa proprietà è utile per comprendere come il cambiamento in una funzione si traduca in un cambiamento nel suo integrale.
La simmetria, infine, gioca un ruolo importante nel calcolo degli integrali, specialmente quando si tratta di funzioni simmetriche. Per esempio, se una funzione è simmetrica rispetto all’asse y, l’integrale in un intervallo simmetrico attorno all’origine sarà più facile da calcolare, poiché le aree da entrambi i lati dell’asse si bilanceranno.
Scopriamone insieme le caratteristiche principali.
- Proprietà di linearità degli integrali definiti
- Proprietà dell'intervallo di integrazione degli integrali definiti
- Proprietà di segno degli integrali definiti
- Esercizi sulle proprietà degli integrali definiti
- Sfida sulle proprietà degli integrali
Proprietà di linearità degli integrali definiti
Le proprietà degli integrali definiti servono per semplificare l’espressione della funzione integranda e quindi per riuscire ad integrare con più facilità. Ci sono due proprietà di linearità:
- Prima proprietà di linearità: L’integrale della somma di funzioni continue in un intervallo £$[a,b]$£ è la somma degli integrali delle singole funzioni.
- Seconda proprietà di linearità: L’integrale del prodotto di una funzione continua in un intervallo £$[a,b]$£ per una costante è uguale al prodotto tra la costante e l’integrale della funzione.
Proprietà dell’intervallo di integrazione degli integrali definiti
Gli integrali definiti hanno altre due proprietà che ci aiutano a semplificare i calcoli:
- Scambio degli estremi: se £$a < b $£ e £$f(x)$£ è continua in £$[a,b]$£, scambiando l’ordine degli estremi di integrazione, cambia il segno dell’integrale.
- Additività rispetto all’intervallo di integrazione: se £$f(x)$£ è una funzione continua in un intervallo contenente i punti £$a$£, £$b$£ e £$c$£, allora possiamo dividere l’integrale calcolato nell’intervallo £$[a,c]$£ nella somma di due integrali, uno in £$[a,b]$£ e l’altro in £$[b,c]$£.
Proprietà di segno degli integrali definiti
La proprietà del segno degli integrali definiti ci aiutano, per esempio, a calcolare l’area sottesa da una funzione che cambia segno nell’intervallo di integrazione, a calcolare l’area sottesa da una funzione pari o dispari, a semplificare i calcoli dell’integrale per un intervallo di integrazione simmetrico.
Un esempio svolto e i grafici ti aiuteranno a capire meglio queste proprietà degli integrali.
Proprietà di monotonia: se £$f(x)$£ e £$g(x)$£ sono funzioni continue in £$[a,b]$£ con £$a \le b$£ e £$f(x) \le g(x)$£ allora tra gli integrali delle due funzioni vale la stessa relazione di disuguaglianza, cioè l’integrale in £$[a,b]$£ di £$f(x)$£ è ancora minore o uguale all’integrale fra £$[a,b]$£ di £$g(x)$£.
La proprietà di monotonia degli integrali ci permette di introdurre il concetto di area con segno.
Se la funzione è positiva, lo è anche il suo integrale, e quindi l’area sottesa dalla curva è positiva.
Se la funzione è negativa in un intervallo, lo sarà anche il suo integrale in quell’intervallo. Questo significa che l’area sottesa dalla curva è "negativa". Come è possibile che un’area sia negativa? L’area è comunque una quantità positiva, il meno indica che il grafico della funzione si trova sotto l’asse delle £$x$£, quindi l’area fra la curva e l’asse delle £$x$£ è nella parte negativa delle ordinate.
In questi calcoli bisogna stare molto attenti alle funzioni che cambiano segno in un intervallo, in questo caso l’area compresa fra il grafico della curva e l’asse delle ascisse non è rappresentata dal risultato dell’integrale in quell’intervallo. Per calcolare l’integrale, in questo caso, facciamo la somma delle varie porzioni ricordandoci di mettere un meno davanti alle porzioni di area che stanno sotto l’asse £$x$£.
Proprietà del modulo: se £$f(x)$£ è continua in £$[a,b]$£, allora il valore assoluto dell’integrale della funzione è minore o uguale dell’integrale del modulo della funzione stessa.
Integrali di funzioni simmetriche su intervalli simmetrici:
- se £$f(x)$£ è una funzione dispari allora l’integrale nell’intervallo simmetrico £$[-a,a]$£ è uguale a zero;
- se £$f(x)$£ è una funzione pari allora l‘integrale nell’intervallo simmetrico £$[-a,a]$£ è pari a due volte l’integrale di £$f(x)$£ in £$[0,a]$£.
Esercizi sulle proprietà degli integrali definiti
Testo degli esercizi
Soluzione degli esercizi
Ecco alcuni esercizi che ti serviranno per la preparazione alla verifica o all’interrogazione sulle proprietà degli integrali definiti!
Se non ricordi qualcosa, puoi sempre ripassare la lezione!
Sfida sulle proprietà degli integrali
Testo della sfida
Soluzione alla sfida
È possibile trovare il baricentro di una figura con gli integrali? Certo! Scopri come si fa risolvendo la sfida!