Integrali definiti e indefiniti: integrazione per sostituzione

Ora che hai visto cosa significa calcolare un integrale, vediamo insieme quali metodi ci sono per velocizzare il calcolo.

Uno di questi è il metodo di sostituzione, una delle tecniche fondamentali nel calcolo degli integrali, sia definiti che indefiniti, e rappresenta un potente strumento per semplificare e risolvere integrali che altrimenti sarebbero difficili da affrontare. Questa tecnica è particolarmente utile quando si incontrano funzioni composte o espressioni algebriche complesse nelle quali è possibile individuare una parte della funzione che, se isolata, potrebbe rendere l’integrazione più diretta e gestibile.

A cosa serve il metodo di sostituzione? Impara ad usare il metodo di sostituzione nel calcolo degli integrali indefiniti e definiti. Ricorda che sostituendo cambia il dx e negli integrali definiti cambiano anche gli estremi di integrazione!

In questa lezione imparerai:

• Metodo di sostituzione: integrali indefiniti. Quali sono i passaggi da fare per usare il metodo di sostituzione
• Metodo di sostituzione: integrali definiti. Quali sono i passaggi da fare per usare il metodo di sostituzione

• Metodo di sostituzione di integrali indefiniti
• Metodo di sostituzione di integrali definiti
• Esercizi sul metodo di sostituzione
• Sfida sul metodo di sostituzione e calcolo degli integrali definiti e indefiniti

Metodo di sostituzione di integrali indefiniti

Metodo di integrazione per sostituzione per calcolare gli integrali definiti e indefiniti - Galleria

Perché usare il metodo di sostituzione? Il tuo obiettivo è quello di passare da un integrale che non sai svolgere oppure che ha dei calcoli molto complicati, ad uno che sai svolgere, sostituendo parte della funzione integranda con una nuova funzione, più facile da integrare.

Cosa devi fare in generale quando usi il metodo di sostituzione in un integrale indefinito?

1. Sostituire una "parte" della funzione con una nuova variabile £$t$£;
2. cambiare £$dx$£ in £$dt$£ derivando rispetto a £$t$£ e rispetto a £$x$£;
3. integrare la nuova funzione in £$t$£;
4. ritornare alla variabile £$x$£, usando la sostituzione fatta al punto 1.

Metodo di sostituzione di integrali definiti

Metodo di integrazione per sostituzione per calcolare gli integrali definiti e indefiniti - Galleria

Cosa devi fare in generale quando usi il metodo di sostituzione in un integrale definito? I passaggi sono quasi uguali a quelli dell’integrale indefinito, ma devi fare attenzione a cambiare gli estremi di integrazione. Non hai bisogno di tornare indietro con la sostituzione perché l’integrale definito è un numero, non una funzione!

1. Sostituire una "parte" della funzione con una nuova variabile £$t$£;
2. cambiare £$dx$£ in £$dt$£ derivando rispetto a £$t$£ e rispetto a £$x$£;
3. cambiare gli estremi di integrazione usando la sostituzione fatta al punto 1;
4. integrare la nuova funzione in £$t$£.

Esercizi sul metodo di sostituzione

Testo:

Metodo di integrazione per sostituzione per calcolare gli integrali definiti e indefiniti - Galleria

Soluzione:

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Ora che hai visto questa tecnica per calcolare gli integrali, mettiti alla prova! Verifica se hai capito come usare il metodo di sostituzione per il calcolo degli integrali definiti o indefiniti!

Sfida sul metodo di sostituzione e calcolo degli integrali definiti e indefiniti

Testo della sfida:

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Soluzione:

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Devi organizzare un concerto in un teatro. Ma quanti posti ci sono? Potresti calcolare la superficie a disposizione del pubblico. Ma come fare? Semplice, se sai calcolare gli integrali!

Prova a risolvere la sfida di questa lezione sul metodo di sostituzione applicato al calcolo degli integrali definiti e indefiniti!