Come integrare le funzioni razionali secondo il grado

Integrare le funzioni razionali, che sono quozienti di polinomi, è un argomento fondamentale nel calcolo integrale: a seconda del grado del numeratore e del grado del denominatore, riuscirai a prevedere il risultato!

Risolvi l’integrale analizzando il grado del numeratore e del denominatore! Se il denominatore ha grado 2, analizza prima di tutto il delta. In questo modo potrai prevedere di che tipo sarà la soluzione!

In questa lezione imparerai:

• Integrazione delle funzioni razionali: quali casi possiamo incontrare nell’integrazione di una funzione razionale
• Denominatore di II grado: caso £$\Delta > 0 $£. Come risolvere l’integrale e qual è la soluzione
• Denominatore di II grado: caso £$\Delta = 0 $£. Come risolvere l’integrale e qual è la soluzione
• Denominatore di II grado: caso £$\Delta < 0 $£. Come risolvere l’integrale e qual è la soluzione
• Denominatore di grado > 2: come risolvere l’integrale e qual è la soluzione

• Come integrare le funzioni razionali
• Come integrare se il denominatore ha grado 2
• Come integrare se il denominatore è di grado > 2
• Esercizi sull'integrazione di funzioni razionali
• Sfida sulle funzioni razionali

Come integrare le funzioni razionali

Metodo di integrazione per le funzioni razionali e grado del numeratore e del denominatore - Galleria

Analizziamo gli integrali in cui l’integranda è una funzione razionale, cioè è scritta come rapporto di due polinomi £$P_n(x)$£ di grado £$n$£ e £$Q_m(x)$£ di grado £$m$£. Distinguiamo 4 casi:

1. £$n=0$£ e £$ m=1$£ sappiamo già risolvere l’integrale: £$\int \frac{q}{ax+b } dx= \frac{q}{a} \ln |ax+b|+c$£
2. £$n \ge m$£ devi fare la divisione fra i polinomi e, sfruttando il teorema del quoziente e del resto, puoi scrivere l’integranda come somma tra un polinomio che sappiamo integrare subito e una funzione razionale dove il denominatore ha grado £$\le$£ del grado del denominatore;
3. £$m=2$£ e £$n \le 1$£ l’integrale è: £$\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c} dx$£. La soluzione e la risoluzione di questo integrale dipende dal Delta £$\Delta$£ del polinomio al denominatore;
4. £$m > 2 $£ e £$n < m$£ la soluzione dipende dal grado del denominatore.

Come integrare se il denominatore ha grado 2

Denominatore di II grado: caso £$\Delta > 0 $£

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Denominatore di II grado: caso £$\Delta = 0 $£

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Denominatore di II grado: caso £$\Delta < 0 $£

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Nel caso dell’integrale £$\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c} dx$£ dove il denominatore ha £$\Delta > 0$£. Cosa devi fare per semplificare l’integrale?

1. Fattorizza il denominatore in un polinomio;
2. Cerca £$A$£ e £$B$£ tali che £$\frac{px+q}{ax^2+bx+c}= \frac{1}{a} \left( \frac{A}{x-x_1} + \frac{B}{x-x_2} \right)$£;
3. La soluzione è la somma di due logaritmi.

Nel caso dell’integrale £$\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c} dx$£ dove il denominatore ha £$\Delta = 0$£. Cosa devi fare per semplificare l’integrale?

1. Fattorizza il denominatore scrivendolo come un quadrato perfetto;
2. Sostituisci £$t=x-x_0$£;
3. Separa e risolvi i due integrali immediati.

Nel caso dell’integrale £$\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c} dx$£ dove il denominatore ha £$\Delta < 0$£. In questo caso per semplificare l’integrale devi:

1. spezzare £$q$£ come somma di due numeri tali che al numeratore compaia la derivata del denominatore;
2. spezzare l’integrale in due, in modo che nel primo l’integrando sia del tipo "derivata fratto funzione";
3. la soluzione è la somma di un logaritmo e di un arcotangente.

Come integrare se il denominatore è di grado > 2

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Quando £$m > 2 $£ e £$n < m$£ scomponi il polinomio al denominatore con la regola di Ruffini. Trova un numero di costanti uguale al numero di fattori in cui hai scomposto il polinomio usando lo stesso metodo usato per trovare le costanti A e B del caso in cui il denominatore ha £$\Delta > 0$£. Ora separa la frazione in più frazioni e risolvi.

Esercizi sull’integrazione di funzioni razionali

Testo degli esercizi:

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Soluzione:

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Ecco alcuni esercizi per arrivare preparato all’interrogazione o alla verifica sull’integrazione delle funzioni razionali. Ricordi cosa succede se il denominatore è di secondo grado? E se fosse di grado maggiore di £$2$£?

Sfida sulle funzioni razionali

Testo:

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Soluzione:

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Se conosci l’accelerazione di un razzo che viene mandato in orbita, puoi conoscere la sua velocità? Certo! Infatti l’accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo e quindi…

Continua tu e risolvi la sfida!