Come calcolare le aree tra curve e il volume dei solidi
Nel campo dell’analisi matematica, le nozioni di area tra due curve, volume di un solido e volume di un solido di rotazione rappresentano concetti fondamentali che trovano applicazione in diverse aree della scienza e dell’ingegneria.
In questo articolo scopriremo come si determina l’area tra due curve, procedendo poi all’analisi dei metodi per calcolare il volume di solidi e di solidi generati dalla rotazione di una curva attorno a un asse. Scopri cos’è un solido di rotazione e qual è la formula per trovare il volume di un solido di rotazione. In questo articolo vedremo:
- Calcolo delle aree tra curve: formula per calcolare l’area tra due curve
- Calcolo dei volumi dei solidi: formula per calcolare il volume di un solido
- Calcolo dei volumi dei solidi di rotazione: formula per calcolare il volume di un solido di rotazione
È molto importante imparare a calcolare l’area tra curve o il volume dei solidi di rotazione perché è un argomento molto richiesto nella seconda prova di maturità!
- Calcolo delle aree tra curve
- Come calcolare il volume di un solido
- Esercizi sui solidi di rotazione
- Sfida: calcola l'area tra due curve
Calcolo delle aree tra curve
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La formula per calcolare l’area compresa fra due curve £$f(x)$£ e £$g(x)$£ in un intervallo £$[a,b]$£ è:
$$A=\int_a^b [f(x)-g(x)]dx$$la prima funzione, nel nostro caso la £$f$£, deve essere sempre quella che ha il grafico sopra £$g(x)$£ nell’intervallo £$[a,b]$£.
Come calcolare il volume di un solido
Calcolo dei volumi dei solidi
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Calcolo dei volumi dei solidi di rotazione
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La formula per calcolare il volume di un solido è:
$$V=\int_a^b S(x) \ dx$$dove £$S(x)$£ è l’area di una qualsiasi sezione del solido con un piano perpendicolare all’asse £$x$£ al variare di £$x$£ nell’intervallo £$[a,b]$£
La formula per calcolare il volume di un solido di rotazione nell’intervallo £$[a,b]$£ è:
$$V=\int_a^b \pi f^2(x) \ dx$$dove la rotazione avviene attorno all’asse £$x$£. In caso di rotazione intorno all’asse £$y$£, è necessario fare un cambio di variabili per gli estremi dell’intervallo di integrazione e utilizzare la funzione inversa dell’integranda.
Esercizi sui solidi di rotazione
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Mettiti alla prova nel calcolo dei volumi dei solidi e dei solidi di rotazione. Ricordi come si fa? Com’era la formula? Beh se hai dei dubbi, ripassa la lezione oppure allenati con i tre livelli di esercizi.
Sfida: calcola l’area tra due curve
Testo della sfida:
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Soluzione:
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Oggi è tempo di giardinaggio! Devi piantare degli alberi in un’aiuola, ma quanti alberi potrai piantare? Dipende dalla superficie dell’aiuola. Ma ora che sai calcolare la superficie tra due curve, risolvere la sfida sarà un gioco da ragazzi!