Lo studio di funzioni: definizione ed esercizi
In questo articolo, ci focalizzeremo sullo studio di una funzione, un processo chiave nell’analisi matematica che permette di comprendere in modo completo e dettagliato le caratteristiche di una funzione. Lo studio di una funzione implica l’esame di vari aspetti della funzione stessa, come il suo dominio e il suo codominio, i suoi punti di intersezione con gli assi, i massimi e i minimi, i punti di flesso, e il comportamento asintotico.
Inizieremo definendo il dominio di una funzione, che è l’insieme di tutti i valori di input per cui la funzione è definita. Successivamente, esploreremo il concetto di intersezioni con gli assi, ossia i punti in cui la funzione tocca o attraversa gli assi delle coordinate.
Scopriamoli insieme!
- Cos'è il dominio nello studio di una funzione
- Lo studio degli zeri e del segno della funzione
- La classificazione delle funzioni nello studio
- Esercizi sullo studio di funzioni
Cos’è il dominio nello studio di una funzione
Il dominio della funzione è l’insieme dei valori che può assumere la variabile £$x$£ in modo che esista la sua immagine £$ y=f(x)$£.
Per le funzioni numeriche, il dominio coincide con le C.E. dell’espressione della funzione.
Ad esempio, il dominio della funzione £$y=\frac{x}{x-2}$£ è tutto l’insieme £$\mathbb{R}$£ tranne £$x=2$£ perché il denominatore sarebbe uguale a £$. Quindi non esiste l’immagine tramite la funzione di [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]x=2$£ che quindi è escluso dal dominio.
Lo studio degli zeri e del segno della funzione
Gli zeri della funzione sono i valori di £$x$£ del dominio che hanno come immagine £$y=0$£.
Per trovare gli zeri della funzione, basta risolvere l’equazione £$f(x)=0$£.
Una funzione può avere un solo zero, come ad esempio la funzione £$y=x$£, più di uno zero, come la funzione £$y=x^2-1$£ oppure può non avere zeri, come la funzione £$y=x^2 +1$£.
Calcolare il segno della funzione serve a capire per quali valori la funzione è positiva (quindi il suo grafico sarà sopra l’asse delle ascisse) oppure negativa (e il suo grafico sarà sotto l’asse delle £$x$£).
Per calcolare il segno della funzione, basta risolvere la disequazione £$f(x)\ge 0$£ e trovare quindi gli intervalli di positività e negatività della funzione.
Una funzione può avere segno costante, cioè essere sempre positiva o sempre negativa in tutto il suo dominio, oppure può avere segno variabile.
Ad esempio, la funzione £$y=x^2+1$£ è sempre positiva perché £$x^2+1 $£ è maggiore di £$ per ogni [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]x \in \mathbb{R}$£ mentre la funzione £$ y = x^3$£ è positiva per £$x > 0$£ e negativa per £$x < 0$£.
La classificazione delle funzioni nello studio
Le funzioni numeriche possono essere classificate in base alla loro espressione in forma esplicita £$y=f(x)$£.
Le funzioni sono algebriche se ci sono solo operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza e radici.
Le funzioni trascendenti quelle che non sono algebriche, come ad esempio le funzioni esponenziali, le funzioni logaritmiche e le funzioni goniometriche.
Esercizi sullo studio di funzioni
Eccoti arrivato alle prime cose difficili sullo studio di funzioni! Niente panico, puoi allenarti per l’interrogazione con questi esercizi sullo studio di funzione!
Testo della sfida
Soluzione alla sfida
Prova a calcolare il dominio della funzione che descrive il consumo di batteria causato dall’app di Facebook!
Ricordati che puoi sempre ripassare la lezione e allenarti con gli esercizi!