Relazioni di equivalenza e di ordine: definizione
Nella matematica, le relazioni tra gli elementi di un insieme giocano un ruolo cruciale nel definire e comprendere le proprietà di tali elementi e le loro interazioni. Tra queste, le relazioni di equivalenza e d’ordine sono concetti fondamentali che offrono una lente attraverso cui esplorare e classificare strutture matematiche in modo sistematico e significativo.
In questo articolo vedremo la natura e le applicazioni di due tipi principali di relazioni: la relazione di equivalenza e la relazione d’ordine, quest’ultima nelle sue varie forme, sia totale che parziale, e sia larga che stretta.
Scopri le definizioni e le proprietà di queste relazioni con le video-lezioni e gli esercizi svolti!
- Cos'è una relazione di equivalenza
- Cos'è una relazione d'ordine
- Il rapporto tra le relazioni di equivalenza e d’ordine
- Relazioni di equivalenza e d'ordine: esercizi svolti
- All'interrogazione... relazioni su relazioni!
- Sfida sulle relazioni di equivalenza e d'ordine
Cos’è una relazione di equivalenza
Relazione di equivalenza: definizione
Classi di equivalenza
Una relazione si dice di equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva. Dato un insieme £$A$£, il sottoinsieme di elementi che sono in relazione di equivalenza tra loro si dice classe di equivalenza £$[a]$£.
L’insieme quoziente è l’insieme che ha come elementi le classi di equivalenza. Con una relazione di equivalenza si può ottenere una delle possibili partizioni di un insieme, in cui:
- Ogni sottoinsieme non è vuoto (nel nostro caso il sottoinsieme è la classe di equivalenza £$[a]$£);
- Tutti i sottoinsiemi sono disgiunti tra loro;
- L’unione di tutti i sottoinsiemi è l’insieme di partenza.
Cos’è una relazione d’ordine
Relazione d’ordine largo
Relazione d’ordine stretto
Ordine totale o parziale
La relazione d’ordine in un insieme £$A$£ mette in ordine gli elementi: possiamo stabilire quale elemento "viene prima" e quale "viene dopo". Perché questo sia possibile la relazione deve essere:
- antisimmetrica perché in qualsiasi "ordine" se £$a$£ è prima di £$b$£, allora £$b$£ non può essere prima di £$a$£;
- transitiva perché la stessa relazione deve mettere in "ordine" più di un elemento, senza contraddirsi: se £$a$£ è prima di £$b$£ e £$b$£ è prima di £$c$£, allora £$a$£ è prima di £$c$£.
Una relazione è di ordine:
- largo se, oltre ad essere transitiva e antisimmetrica, è anche riflessiva;
- stretto se, oltre ad essere transitiva e antisimmetrica, è anche antiriflessiva.
Parliamo di ordine:
- totale (largo o stretto) se, comunque si scelgano due elementi distinti di £$A$£ £$(a_1, a_2)$£, possiamo sempre dire che £$a_1$£ è in relazione con £$a_2$£ o £$a_2$£ è in relazione con £$a_1$£. In questo caso, £$A$£ è un insieme totalmente ordinato;
- parziale se esiste almeno una coppia di elementi distinti in £$A$£ che non sono confrontabili. In questo caso, £$A$£ è parzialmente ordinato.
La relazione è simmetrica se ogni volta che £$x$£ è in relazione con £$y$£, £$y$£ è anche in relazione con £$x$£, ad esempio:
- Perpendicolarità: se la retta £$r$£ è perpendicolare alla retta £$s$£, anche la retta £$s$£ è perpendicolare alla retta £$r$£
- Parallelismo: se la retta £$r$£ è parallela alla retta £$s$£, anche la retta £$s$£ è parallela alla retta £$r$£
- "abitare nella stessa città": se £$x$£ abita nella stessa città di £$y$£, allora £$y$£ abita nella stessa città di £$x$£
- Congruenza tra segmenti: se £$x$£ è congruente a £$y$£, £$y$£ è congruente a £$x$£
Il rapporto tra le relazioni di equivalenza e d’ordine
Hai visto cos’è una relazione di equivalenza e una relazione d’ordine. Ma a cosa servono? E quale "relazione" c’è tra loro? Beh il nome aiuta: relazione di equivalenza ci fa venire in mente che gli elementi in relazione sono "praticamente uguali" (o equivalenti), mentre una relazione d’ordine ci permette di "ordinare" (fare una specie di classifica) gli elementi.
Relazioni di equivalenza e d’ordine: esercizi svolti
Relazione di equivalenza o d’ordine?
Esercizio: trova la relazione!
Esercizio: trova l’insieme!
Ora che sai praticamente tutto sulle relazioni, allenati con questi esercizi svolti sulle relazioni di equivalenza e d’ordine. Come riconoscere se una relazione e di equivalenza o d’ordine? Basta controllare di quali proprietà godono!
Sicuramente deve esserci la proprietà transitiva (questa per forza), ma poi? Simmetrica o antisimmetrica? Allenati con questi esercizi svolti sulle relazioni d’ordine e di equivalenza!
All’interrogazione… relazioni su relazioni!
Tutto bello fin qui, ma poi arriva il momento dell’interrogazione. Stai tranquillo! Se hai visto i video e ti sei allenato con gli esercizi sulle relazioni di equivalenza e d’ordine, andrà tutto bene!
Qui ti facciamo vedere alcune domande che potresti trovare in verifica. Riesci a rispondere?
Sfida sulle relazioni di equivalenza e d’ordine
Testo della sfida:
Soluzione alla sfida:
Di che tipo è la relazione tra le app scaricate da Marco e da Andrea? Non avresti mai pensato al legame tra la matematica e la vita di tutti i giorni, vero? Risolvi la sfida sulle relazioni di equivalenza e d’ordine, guarda i video e allenati con gli esercizi.