Studio di funzione: dominio, simmetrie e segno

Lo studio di funzione è un processo fondamentale nel campo della matematica, essenziale per comprendere a fondo il comportamento delle funzioni matematiche. Questo studio coinvolge l’analisi di vari aspetti di una funzione, tra cui il calcolo del suo dominio, la determinazione delle eventuali simmetrie e l’analisi del segno. Ognuno di questi elementi fornisce informazioni cruciali sul comportamento della funzione e sulle sue caratteristiche.

Il dominio di una funzione è l’insieme di tutti i valori di input (o "x") per cui la funzione è definita. Determinare il dominio è un passo essenziale nello studio di una funzione, poiché stabilisce i limiti entro cui la funzione opera. Questo include l’identificazione di valori per i quali la funzione potrebbe non essere definita, come ad esempio i punti in cui potrebbe presentarsi una divisione per zero o la radice quadrata di un numero negativo.

Le simmetrie in una funzione possono essere di diversi tipi, come la simmetria rispetto all’asse y (funzioni pari) o rispetto all’origine (funzioni dispari). Queste simmetrie offrono una comprensione più profonda della natura della funzione e possono semplificare notevolmente il processo di analisi e di calcolo in determinati contesti.

L’analisi del segno di una funzione, ovvero la determinazione delle regioni in cui la funzione assume valori positivi o negativi, è un altro aspetto cruciale dello studio di funzione. Questo permette di capire come la funzione si comporta in relazione all’asse delle x e di identificare le intersezioni con tale asse, che corrispondono ai punti in cui la funzione passa da positiva a negativa e viceversa.

Vediamo insieme come fare!

• Dominio di funzione: come calcolarlo
• Simmetrie: come definire se la funzione è pari o dispari
• Intersezioni con gli assi nelle funzioni
• Come calcolare il segno della funzione

Dominio di funzione: come calcolarlo

Il primo passaggio nello studio di funzione è il calcolo del dominio. Ricordi cos’è il dominio di una funzione? È l’insieme dei valori che hanno un’immagine nell’insieme di arrivo della funzione. Nel caso di funzioni numeriche, il dominio sarà un sottoinsieme dell’insieme £$\mathbb{R}$£ dei numeri reali.

Cosa dobbiamo guardare per calcolare il dominio di una funzione:

1. Se la variabile £$x$£ è al denominatore, dobbiamo imporre che questo sia diverso da zero.
Esempio: il dominio della funzione £$y=\frac{2x}{x-1}$£ è £$D=\mathbb{R}\setminus \{1\}=(-\infty, 1)\cup (1, +\infty)$£ perché per £$x=1$£ il denominatore è uguale a zero e la funzione non è definita.

2. Se è presente una radice di indice pari, l’argomento della radice (cioè quello che sta sotto la radice) deve essere maggiore o uguale a zero.
Esempio: per trovare il dominio della funzione £$y=\sqrt{x^2-4}$£ dobbiamo risolvere la disequazione £$x^2-4\ge 0 $£ che ha come soluzione £$x \le -2 \vee x \ge 2$£. Il dominio della funzione è £$D=(-\infty,-2)\cup (2,+\infty)$£.

3. Ricorda che il logaritmo deve avere come argomento un numero positivo. Quindi se c’è un logaritmo nell’espressione della funzione, devi imporre che l’argomento sia maggiore (stretto) di zero.
Esempio: la funzione £$y=\ln(x-4)$£ ha come dominio l’insieme £$D=(4, +\infty)$£ perché deve essere £$x-4>0 \to x>4$£.

Questi sono i tre principali casi che ti troverai di fronte. Ovviamente se dovessi avere più di una di queste situazioni, dovrai risolvere il sistema con le condizioni di esistenza.
Esempio: calcoliamo il dominio della funzione £$y=\frac{1}{\ln(x)}$£. Dato che abbiamo un denominatore, questo deve essere diverso da zero quindi £$\ln(x)\ne 0 $£. Ma c’è anche il logaritmo! Quindi l’argomento deve essere positivo, cioè £$x>0$£. Allora dobbiamo risolvere il sistema:

Allora il dominio è l’insieme £$D=(0,1) \cup (1,+\infty)$£.

Simmetrie: come definire se la funzione è pari o dispari

Il secondo passaggio da fare in uno studio di funzione è controllare eventuali simmetrie, cioè se la funzione è pari (simmetrica rispetto all’asse £$y$£) o dispari (simmetrica rispetto all’origine degli assi). Quali sono i passaggi? Eccoli:

1. guarda il dominio della funzione: se il dominio non è simmetrico rispetto a [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/] allora la funzione non potrà avere simmetrie.
Esempio: se il dominio della funzione è £$D=(-\infty, 2)\cup (2,+\infty)$£ allora la funzione non ha simmetrie. Invece potrebbe essere simmetrica una funzione che ha come dominio l’insieme £$(-\infty, -1) \cup (-1,1)\cup (1,+\infty)$£ perché è un insieme simmetrico rispetto all’origine.

2. Una funzione è pari se £$f(x)=f(-x)$£. Per calcolare £$f(-x)$£ basta sostituire £$-x$£ al posto di £$x$£ nella funzione e verificare se vale l’uguaglianza.
Esempio: la funzione £$y=1-x^2$£ è pari perché £$f(-x)=1-(-x)^2=1-x^2=f(x)$£.

3. Una funzione è dispari se £$f(-x)=-f(x)$£. In questo caso, basta verificare l’uguaglianza delle due espressioni.
Esempio: £$f(x)=x^3$£ è dispari perché £$f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$£.

Se una funzione è simmetrica, possiamo studiarla solo per £$x\ge 0 $£ e poi fare la simmetria del grafico trovato.

Intersezioni con gli assi nelle funzioni

Trovare dove la funzione da studiare interseca gli assi è importante per iniziare a capire quale sarà il grafico probabile. Per trovare le intersezioni con gli assi basta mettere a sistema la funzione con l’equazione degli assi (uno alla volta).

Intersezione asse £$x$£: £$\begin{cases} y=f(x) \\ y=0 \end{cases}$£

Intersezione asse £$y$£: £$\begin{cases} y=f(x) \\ x=0 \end{cases}$£

Come calcolare il segno della funzione

Studiare il segno della funzione serve a capire dove passa il grafico della funzione. Infatti, trovando gli intervalli di positività e negatività, è possibile escludere alcune parti di piano e iniziare a descrivere il possibile andamento della funzione.

Come affrontare questo passaggio? Semplice. Basta risolvere la disequazione £$f(x)\ge 0 $£. Una volta risolta, possiamo cancellare le parti di piano che sappiamo non essere attraversate dalla funzione.

Esempio: studiamo il segno della funzione £$y=\ln(x)$£, cioè risolviamo £$\ln(x)\ge 0$£. Abbiamo £$x\ge 1$£. Quindi tra £$ e [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]1$£ la funzione è negativa e possiamo cancellare la parte delle £$x$£ positive perché sappiamo che il grafico della funzione non passa da lì. Invece nella parte in cui £$x$£ è maggiore di £$1$£, cancelliamo la parte negativa perché la funzione è positiva.