Relazione e modalità di rappresentazione degli insiemi: cosa sono

In matematica, il concetto di relazione descrive un legame tra gli elementi di uno o più insiemi. Questo legame può essere di varia natura, come una relazione di equivalenza, d’ordine o funzionale, e viene spesso usato per esprimere come gli elementi di un insieme si correlano o interagiscono tra loro.

Una relazione può essere definita formalmente come un sottoinsieme del prodotto cartesiano di due o più insiemi, dove ogni elemento nel sottoinsieme rappresenta una combinazione di elementi che soddisfa la relazione.

Impara a riconoscere una relazione tra due insiemi e ad utilizzare le diverse modalità di rappresentazione: elenco, diagramma a frecce, tabella a doppia entrata, diagramma cartesiano. Scopri il dominio e il codominio di una relazione.

Relazioni matematiche e funzioni ti complicano la vita più delle relazioni personali? Ora non più! Iniziamo insieme a studiare le relazioni a partire dalla loro rappresentazione! In questa lezione imparerai:

• definizione di relazione: cos’è e come si indica una relazione
• rappresentazione di una relazione: come si rappresenta una relazione
• dominio e codominio di una relazione

• Concetto di relazione
• Come rappresentare una relazione
• Dominio e codominio di una relazione e come calcolarli

Concetto di relazione

Cos’è una relazione

Definizione relazione binaria

Le relazioni servono a descrivere le proprietà degli elementi di un insieme. Ma quale insieme? Quello che vogliamo: persone, cose, animali, numeri.

Le relazioni quindi vengono create da noi, in base a cosa ci interessa. Lo facciamo da sempre, ma non ce ne accorgiamo. Qui imparerai cos’è una relazione tra due insiemi e come costruire una relazione tra due insiemi qualunque.

Come rappresentare una relazione

Rappresentazione insiemistica

Rappresentazione con diagramma a frecce

Rappresentazione con diagramma cartesiano

Rappresentare le relazioni è fondamentale perché ti permette di capire quanti e quali elementi sono in relazione. Ci sono diversi modi per rappresentare una relazione. Qui ne vediamo tre:

• rappresentazione insiemistica: è il modo più formale di rappresentare una relazione, ma funziona bene per qualunque tipo di relazione;
• diagramma a frecce: è il più semplice da capire. Gli elementi che sono in relazione sono uniti da frecce;
• diagramma cartesiano: gli elementi in relazione sono dei punti in un piano cartesiano, quindi se £$ a\, R\, b$£ scriviamo £$(a;b)$£.

Ovviamente, se gli insiemi hanno tanti elementi il diagramma a frecce non funziona tanto bene. In caso di insiemi infiniti, tipo gli insiemi numerici, è utile usare la rappresentazione cartesiana perché ti permette di capire come sono legati gli elementi tra loro. Nei video troverai due esempi sulla rappresentazione delle relazioni.

Dominio e codominio di una relazione e come calcolarli

Dominio e codominio

Esempio di calcolo del dominio e codominio

Abbiamo visto che, dati due insiemi qualsiasi, possiamo sempre creare una relazione tra gli elementi del primo insieme e quelli del secondo.

Ma non è detto che tutti gli elementi debbano essere in relazione. C’è bisogno quindi di definire bene quali elementi sono in relazione.
Tutti gli elementi del primo insieme (cioè da dove partono le frecce) che sono in relazione con qualche elemento del secondo insieme (dove arrivano le frecce) formano il dominio della relazione. Tutti gli elementi del secondo insieme che sono in relazione con qualche (ne basta uno) elemento del primo insieme formano il codominio.

Quindi il dominio non è mai uguale all’insieme di partenza? E per il codominio vale la stessa cosa? Assolutamente no! Dipende dalla relazione e dagli insiemi che scegliamo. Può capitare che l’insieme di partenza coincida con il dominio, cioè da tutti gli elementi parte almeno una freccia. Può anche capitare che il codominio coincida con l’insieme di arrivo, cioè che a tutti gli elementi arrivi almeno una freccia.

Per capire meglio quando questa situazione accade e quando invece no, guarda i video con gli esempi di calcolo del dominio e del codominio. Così non avrai più dubbi!