Come fare lo studio di una funzione irrazionale
Le funzioni irrazionali sono una classe importante di funzioni matematiche, caratterizzate dalla presenza di radici, come radici quadrate o radici di indice superiore, nelle loro espressioni. Queste funzioni sono fondamentali per approfondire la comprensione delle proprietà algebriche e analitiche di varie famiglie di funzioni e trovano applicazioni in diversi campi, dalla fisica all’ingegneria.
Lo studio delle funzioni irrazionali implica l’analisi del loro comportamento, come la continuità, la derivabilità e l’integrabilità. Gli studenti imparano a esplorare il dominio e il codominio di queste funzioni, le loro intersezioni, asintoti e punti di discontinuità.
Cosa devi ripassare per studiare le funzioni razionali fratte? Sicuramente come risolvere le equazioni irrazionali, ma anche le disequazioni irrazionali entrano in gioco, soprattutto quando devi studiare il segno della funzione.
Come svolgere lo studio di funzione irrazionale
Dominio e segno della funzione
Intersezioni con gli assi
Iniziamo lo studio della funzione £$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x-3}}$£. Il primo passo è ricavare il dominio della funzione (cioè l’insieme delle £$x$£ che hanno immagine) ed eventuali simmetrie. In questo caso, possiamo subito studiare il segno della funzione, visto che c’è una radice quadrata.
Poi passiamo alla ricerca delle intersezioni con gli assi, che ci servono per iniziare a capire per dove passa il grafico della funzione.
Ricorda di aggiornare il grafico probabile dopo ogni passaggio. In questo modo puoi accorgerti se stai facendo qualche errore di calcolo. Infatti, tutte le informazioni devono essere coerenti e non portare a una contraddizione!
Calcolo dei limiti della funzione
Dopo aver trovato il dominio, le intersezioni con gli assi e il segno della funzione, passiamo al calcolo dei limiti.
Come capire quali limiti calcolare? È molto semplice: scriviamo il dominio come intervallo o unione di intervalli. Poi calcoliamo i limiti agli estremi del dominio.
Ricorda che se a £$\pm \infty$£ il limite è infinito, potrebbe esserci un asintoto obliquo. Ricordi come calcolare l’asintoto obliquo? Se hai dei dubbi puoi ripassarlo nella lezione sul calcolo degli asintoti.
Derivata prima, massimi e minimi
Lo studio della derivata prima della funzione è fondamentale per molti aspetti:
- permette di studiare gli intervalli di monotonia della funzione, dove cioè cresce e dove decresce;
- nei punti in cui si annulla, possiamo trovare i massimi e i minimi della funzione. Ma potrebbero essere anche punti di flesso a tangente orizzontale. Diventa fondamentale lo studio del segno.
- possiamo trovare eventuali punti di non derivabilità della funzione.
Oltre a questo, ci aiuta a definire meglio il grafico probabile della funzione.
Se non ricordi come calcolare la derivata di una funzione, puoi ripassare tutto quello di cui hai bisogno nella lezione sul calcolo delle derivate.
Derivata seconda, concavità e flessi
Lo studio della derivata seconda ci aiuta a trovare gli intervalli in cui la funzione ha concavità verso l’alto e verso il basso. Nei punti in cui la funzione cambia la concavità ci possono essere dei punti di flesso, ed è importante trovarli in modo da completare e rendere più preciso il grafico della funzione.