Teoremi dei quadrilateri inscritti e circoscritti

Quadrilateri inscritti e quadrilateri circoscritti: scopri il teorema sugli angoli opposti di un quadrilatero e il teorema che indica le condizioni necessarie per inscrivere un quadrilatero. Impara il teorema sui quadrilateri circoscritti e la sua dimostrazione.

Che proprietà hanno gli angoli di un quadrilatero inscritti e circoscritti? Quali quadrilateri si possono sempre inscrivere o circoscrivere ad una circonferenza? Continuiamo a parlare delle figure geometriche circoscritte ed inscritte in una circonferenza. Vediamo cosa accade quando la figura è un quadrilatero!

In questa video lezione imparerai:

• Quadrilateri inscritti, 1° teorema: Teorema e dimostrazione sugli angoli opposti di un quadrilatero inscritto
• Quadrilateri inscritti, 2° teorema: condizione sugli angoli affinché un quadrilatero sia inscrivibile con dimostrazione
• Quadrilateri circoscritti: teorema e dimostrazione sulla somma dei lati opposti di un quadrilatero circoscritto

• Quadrilateri inscritti: i due teoremi
• Quadrilateri circoscritti: il teorema
• Sfida sui quadrilateri inscritti e circoscritti

Quadrilateri inscritti: i due teoremi

Primo teorema

Secondo teorema

Teorema: Gli angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza sono supplementari (la loro somma è £$180°$£).
Uniamo il centro della circonferenza a due vertici opposti del quadrilatero e poi applichiamo il teorema degli angoli alla circonferenza (secondo caso). Ripetiamo lo stesso procedimento per gli altri due vertici opposti ed il teorema è dimostrato.

Teorema: Un quadrilatero con gli angoli opposti supplementari è inscrivibile in una circonferenza.
Questa dimostrazione procede per assurdo. Supponiamo quindi che uno dei vertici del quadrilatero non appartenga alla circonferenza, disegniamo il quadrilatero inscritto e applichiamo il teorema precedente e quello delle rette parallele arrivando così ad una contraddizione che dimostra il teorema.

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.

Quadrilateri circoscritti: il teorema

Teorema: La somma di due lati opposti di un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza è uguale alla somma degli altri due.
Consideriamo i segmenti adiacenti che hanno come estremi un vertice del quadrilatero ed un punto di tangenza con la circonferenza. Per le proprietà della tangenza e la somma di segmenti il teorema è dimostrato!

Vale anche l’inverso di questo teorema:
Se un quadrilatero ha la somma di due lati opposti uguale alla somma degli altri due allora si può circoscrivere ad una circonferenza.
Si dimostra che la circonferenza si può sempre costruire perché le bisettrici di tre lati si incontrano in un punto. Dimostriamo per assurdo che la circonferenza così costruita è tangente anche al quarto lato. Neghiamo la tesi e usando le somme di segmenti e il teorema sulla somma dei lati di un triangolo arriviamo alla contraddizione e quindi alla dimostrazione della nostra tesi!

Sfida sui quadrilateri inscritti e circoscritti

Sfida

Soluzione

Ancora torte, ancora circonferenze! Conviene disegnare un rettangolo e inscriverci una circonferenza o disegnare prima la circonferenza e poi circoscriverci il rettangolo? Prova a risolvere la sfida e poi allenati con gli esercizi sui quadrilateri inscritti e circoscritti!

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.