Posizioni reciproche tra circonferenza e retta nel piano cartesiano
L’argomento che tratteremo in questo articolo riguarda alcuni concetti fondamentali della geometria: la retta secante, la retta tangente e la retta esterna alla circonferenza. Queste tre differenti rette ci indicano le tre posizioni reciproche possibili quando parliamo di una retta e di una circonferenza in geometria.
Scopriamo insieme innanzitutto quali sono le definizioni e poi addentriamoci nelle formule!
- La retta secante alla circonferenza: definizione
- La retta tangente alla circonferenza: definizione
- La retta esterna alla circonferenza: definizione
- Circonferenza e retta: posizioni reciproche e formule
- Le possibili domande all'interrogazione sulle posizioni reciproche tra retta e circonferenza
La retta secante alla circonferenza: definizione
Per iniziare, la retta secante è una retta che interseca la circonferenza in due punti distinti. Se immaginate una linea retta che "taglia" una circonferenza, avete visualizzato una retta secante.
È importante notare che l’angolo formato tra una retta secante e il raggio della circonferenza, nel punto di intersezione, è sempre un angolo retto. Questa proprietà viene spesso utilizzata per risolvere vari problemi geometrici che coinvolgono cerchi e linee.
La retta tangente alla circonferenza: definizione
A differenza di una retta secante, una retta tangente alla circonferenza è una retta che tocca la circonferenza solo in un punto, noto come punto di tangenza.
L’angolo tra la retta tangente e il raggio che passa per il punto di tangenza è sempre un angolo retto. Questa proprietà può essere estremamente utile per risolvere una serie di problemi geometrici che coinvolgono cerchi.
La retta esterna alla circonferenza: definizione
Infine, una retta esterna alla circonferenza è una retta che non interseca la circonferenza in nessun punto. In altre parole, è una linea che passa "fuori" dalla circonferenza senza toccarla.
È importante sottolineare che una retta è esterna alla circonferenza solo se la sua distanza dal centro della circonferenza è maggiore del raggio della circonferenza.
Circonferenza e retta: posizioni reciproche e formule
Proviamo a stabilire la posizione di una retta rispetto a una circonferenza.
Una circonferenza di centro £$C$£ e raggio £$r$£, e una retta che ha distanza £$d$£ dal centro £$C$£ sono:
- secanti se hanno due punti distinti in comune: £$d < r$£
- tangenti se hanno un unico punto in comune: £$d=r$£
- esterne se non hanno punti in comune: £$d > r$£
Intersechiamo una circonferenza e una retta: scriviamo il sistema £$\begin{cases} x^2+y^2+ax+by+c=0\\y=mx+q \end{cases}$£
Ora, se sostituiamo, nell’equazione della circonferenza, al posto di £$y$£ l’espressione £$mx+q$£ abbiamo un’equazione di secondo grado, che è l’equazione risolvente il sistema!
Ma un’equazione di secondo grado può avere una, due o nessuna soluzione!
Quindi a seconda del delta dell’equazione risolvente si ha che una retta e una circonferenza sono:
- Secanti se il delta è positivo:£$\Delta>0$£ (il sistema ha due soluzioni reali distinte)
- Tangenti se il delta è nullo: £$\Delta=0$£ (il sistema ha due soluzioni coincidenti, quindi un sola)
- Esterne se il delta è negativo: £$\Delta<0$£ (il sistema non ha soluzioni reali)
Le possibili domande all’interrogazione sulle posizioni reciproche tra retta e circonferenza
Durante un’interrogazione sulle posizioni reciproche di retta e circonferenza, preparati a rispondere a domande come:
- "Come puoi determinare se una retta è secante, tangente o esterna a una circonferenza?";
- "Cosa distingue un angolo al centro da un angolo alla circonferenza?";
- "Quali proprietà possiedono gli angoli formati da una retta secante o tangente con il raggio della circonferenza?".
Vedrai che dopo un po’ di esercizio non avrai nulla di che temere!