Teorema sui poligoni regolari inscritti e circoscritti

I poligoni regolari inscritti e circoscritti a una circonferenza, con i loro lati uguali e angoli uguali, mostrano una simmetria perfetta e sono il ponte tra la geometria del cerchio e quella delle forme poligonali.

In questo articolo, esploreremo la natura di questi poligoni, il teorema che descrive le loro proprietà uniche quando sono inscritti o circoscritti a una circonferenza, e la relazione tra i loro lati e gli archi della circonferenza che toccano o racchiudono.

In questa video lezione imparerai:

• Poligoni regolari e circonferenza inscritta e circoscritta: teorema sui poligoni regolari inscritti e circoscritti ad una circonferenza con dimostrazione
• Circonferenza divisa in archi congruenti: teoremi e dimostrazioni sugli esagoni e sugli archi di circonferenza

• Poligoni regolari e circonferenza
• Circonferenza divisa in archi congruenti
• Interrogazione sui quadrilateri inscritti e circoscritti

Poligoni regolari e circonferenza

Il poligono regolare è una figura geometrica con tutti i lati e gli angoli uguali. Possiamo dire, quindi, che è equilatero e equiangolo. In un poligono equilatero possiamo individuare 3 elementi caratteristici:

1. l’apotema: raggio della circonferenza inscritta;
2. il raggio: raggio della circonferenza circoscritta;
3. il centro: centro di entrambe le circonferenze.

Teorema: Un poligono regolare può essere inscritto e circoscritto ad una circonferenza. Entrambe le circonferenze hanno lo stesso centro O.

Consideriamo due vertici consecutivi e tracciamo le bisettrici dei due angoli corrispondenti. Applichiamo ora i teoremi sulle bisettrici visti nei punti notevoli dei triangoli e possiamo così applicare il secondo criterio di congruenza dei triangoli. Questo ragionamento è valido per tutti i vertici consecutivi, quindi il poligono è circoscrivibile.

Per dimostrare che è anche inscrivibile usiamo il teorema sugli assi del segmento viste con i punti notevoli del triangolo e le proprietà dei triangoli isosceli.

Circonferenza divisa in archi congruenti

Una circonferenza può essere divisa in 3 o più archi uguali dai vertici di un poligono inscritto regolare o dai punti di tangenza di un poligono circoscritto regolare.

È suddivisa in archi congruenti dai vertici dei poligoni regolari inscritti perché i segmenti che sottendono questi archi sono i lati del poligono: i lati sono congruenti tra loro, quindi sottendono archi congruenti.
Dimostriamo ora che anche i punti di tangenza dei poligoni regolari circoscritti suddividono la circonferenza in archi congruenti.

Teorema: I punti di tangenza dei poligoni regolari circoscritti suddividono la circonferenza in archi congruenti.
La dimostrazione sfrutta il teorema sulla circonferenza e l’asse del segmento.

Teorema: Se inscriviamo un esagono regolare in una circonferenza i suoi lati sono uguali al raggio della circonferenza.
La dimostrazione sfrutta il teorema precedente e le definizioni e proprietà di triangoli isosceli ed equilateri.

Interrogazione sui quadrilateri inscritti e circoscritti

Cosa ti chiederà domani la prof nell’interrogazione sui quadrilateri inscritti e circoscritti? In questo video ti proponiamo alcune domande! Prova a rispondere per valutare la tua preparazione!