I prodotti notevoli: cosa sono e come si calcolano
I prodotti notevoli non sono solo formule o trucchi mnemonici, ma rappresentano il frutto di osservazioni e studi che si sono sviluppati nel corso dei secoli. Gli studiosi di algebra, infatti, hanno notato specifiche forme e schemi che emergono regolarmente quando certi monomi e polinomi vengono moltiplicati insieme. Riconoscendo questi schemi, è stato possibile formulare regole generali per questi prodotti particolari, permettendo di ottenere rapidamente un risultato senza dover eseguire ogni singolo passo della moltiplicazione.
In questo articolo cercheremo proprio di capire meglio quali sono le caratteristiche di questi schemi che prendono il nome di prodotti notevoli e che possono essere molto utili quando ci ritroviamo a dover affrontare dei problemi oppure delle espressioni matematiche.
- Somma per differenza tra monomi
- Il quadrato di un binomio
- Formula del cubo di un binomio
- Formule somma e differenza di cubi
Somma per differenza tra monomi
Il primo prodotto notevole che vediamo è il prodotto tra la somma e la differenza tra due monomi.
£$ (a + b)(a – b) $£
Se svolgiamo tutti i passaggi, otteniamo:
£$ a\cdot(a-b) + b\cdot(a-b) = \\ = a\cdot a + a\cdot(-b) + b\cdot a + b\cdot(-b) = \\ = a^2 -ab +ab-b^2 =$£
Sommiamo i monomi simili per trovare il polinomio ridotto a forma normale. I due monomi con parte letterale £$ ab $£ sono opposti, quindi il risultato è £$ a^2-b^2 $£.
Quando ti ritrovi davanti ad un prodotto del genere, somma per differenza tra due monomi, puoi evitare i passaggi e ricordare che:
$$ (a+b)(a-b) = a^2-b^2 $$
Esempi:
- £$ (2x + 3y)(2x-3y) $£ è il prodotto della somma per la differenza tra i monomi £$ 2x $£ e £$ 3y $£. Saltiamo i passaggi e troviamo il risultato £$ (2x)^2 – (3y)^2 = 4x^2 – 9y^2 $£;
- Anche £$ (-2a+b)(2a+b) $£ è il prodotto di una somma e per una differenza!
Osserva bene i segni dei monomi £$ 2a $£ e £$ b $£. Il segno di £$ b $£ non cambia, è sempre £$ + $£. Il segno di £$ 2a $£ invece cambia! Possiamo riordinare i termini senza modificare il testo:
£$ (b-2a)(b+2a) $£
Ora saltiamo i passaggi e troviamo il risultato: £$ (b)^2 – (2a)^2 = b^2-4a^2 $£
Esercizi sulla somma per differenza
Tanti esercizi per i compiti a casa e per prepararsi alla verifica. Pronti a diventare un asso dei prodotti notevoli? Allenati con somma per differenza.
Scarica il PDF degli esercizi:
Il quadrato di un binomio
Un altro prodotto notevole è il quadrato di un binomio.
£$ (a + b)^2 $£
Per eseguire questa potenza puoi ricordare che “fare alla seconda" vuol dire moltiplicare un numero per se stesso £$ 2 $£ volte. E questo vale anche per le lettere, quindi per i monomi!
£$ (a + b)^2 = (a+b)(a+b)$£
Possiamo svolgere tutti i passaggi:
£$ a\cdot(a+b) + b\cdot(a+b) = \\ = a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b = \\ = a^2 +ab +ab +b^2 $£
Sommiamo i monomi simili e troviamo £$ a^2+2ab+b^2 $£.
Il termine £$ 2ab $£ si chiama doppio prodotto (perché è il doppio del prodotto tra i due monomi). Fai attenzione a non dimenticare il doppio prodotto! Dimenticarsene è un errore comune… NON è vero che £$ (a+b)^2=a^2+b^2 $£: manca il doppio prodotto!
Quando devi svolgere il quadrato di un binomio puoi evitare i passaggi e ricordare che:
$$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $$
Esempio:
£$ (2x + 3y)^2 $£ è il quadrato del binomio £$ 2x + 3y $£.
Saltiamo i passaggi e troviamo il risultato:
£$ (2x)^2 +2\cdot (2x) \cdot(3y) + (3y)^2= \\ = 4x^2 +12xy+ 9y^2 $£
E se c’è il segno meno?
Prova a calcolare £$ (a-b)^2 $£! Scoprirai che £$ (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 $£.
Formula del quadrato di un trinomio
Ecco la formula per calcolare il quadrato di un trinomio:
£$(a+b+c)^2 = a^2 +b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$£
Esercizi sul quadrato di un binomio
Capito come funziona il quadrato di un binomio? Verificalo con questi esercizi.
Scarica il PDF con gli esercizi:
Formula del cubo di un binomio
Come scomporre il cubo di un binomio? Ecco le formule:
£$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$£ £$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$£
Formule somma e differenza di cubi
Qui trovi le formule per scomporre la somma e la differenza di cubi:
Somma di cubi: £$a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)$£
Differenza di cubi: £$a^3-b^3=(a-b)(a^2+b^2+ab)$£