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Somma per differenza di polinomi: come si calcola

Agostino Sapienza

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Il prodotto notevole della somma per differenza di polinomi rappresenta uno degli strumenti più eleganti e utili nell’ambito dell’algebra. Questa particolare forma di prodotto notevole si verifica quando moltiplichiamo due espressioni polinomiali che sono l’una la somma e l’altra la differenza degli stessi due termini. In termini più semplici, abbiamo due polinomi, uno che si presenta come £$a+b$£ e l’altro come £$a-b$£, dove a e b possono essere monomi, binomi o polinomi più complessi.

Il risultato di questa moltiplicazione è notevolmente semplificato rispetto a quanto ci si potrebbe aspettare dalla moltiplicazione standard di polinomi. Infatti, applicando la regola della somma per differenza, otteniamo come risultato la differenza dei quadrati di a e b, ovvero £$a^2-b^2$£. Questo significa che i termini misti, che normalmente emergerebbero dalla moltiplicazione di £$(a+b)*(a-b)$£, si annullano reciprocamente, lasciando una formula molto più semplice e gestibile.

Il bello di questo prodotto notevole è che fornisce una scorciatoia per calcolare il prodotto di due espressioni che potrebbero altrimenti richiedere calcoli più lunghi e complessi. Non solo, ma comprendere e utilizzare questo prodotto notevole può anche aiutare a riconoscere pattern e relazioni all’interno di espressioni algebriche più ampie, facilitando la risoluzione di equazioni e la semplificazione di espressioni.

Nell’articolo che segue, esploreremo in dettaglio come calcolare il prodotto notevole di somma per differenza di polinomi.

Il trucco del prodotto notevole somma per differenza

Il primo prodotto notevole che vediamo è il prodotto della somma per la differenza tra due monomi.

$$ (a + b)(a – b) $$

Se svolgiamo tutti i passaggi come abbiamo già imparato a fare, otteniamo:

£$ a\cdot(a-b) + b\cdot(a-b) = \\ = a\cdot a + a\cdot(-b) + b\cdot a + b\cdot(-b) = \\ = a^2 -ab +ab-b^2 =$£

Sommiamo i monomi simili per trovare il polinomio ridotto a forma normale. I due monomi con parte letterale £$ ab $£ sono opposti, quindi il risultato è £$ a^2-b^2 $£.

Quando ti ritrovi davanti ad un prodotto del genere, somma per differenza tra due monomi, puoi evitare i passaggi e ricordare che:

$$ (a+b)(a-b) = a^2-b^2 $$

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Esempi di prodotti notevoli: somma per differenza

Esempi:

£$ (2x + 3y)(2x-3y) $£ è il prodotto della somma per la differenza tra i monomi £$ 2x $£ e £$ 3y $£.
Saltiamo i passaggi e troviamo il risultato £$ (2x)^2 – (3y)^2 = 4x^2 – 9y^2 $£;

Anche £$ (-2a+b)(2a+b) $£ è il prodotto di una somma per una differenza!
Osserva bene i segni dei monomi £$ 2a $£ e £$ b $£. Il segno di £$ b $£ non cambia, è sempre £$ + $£. Il segno di £$ 2a $£ invece cambia!
Possiamo riordinare i termini senza modificare il testo: £$ (b-2a)(b+2a) $£
Ora saltiamo i passaggi e troviamo il risultato: £$ (b)^2 – (2a)^2 = b^2-4a^2 $£