Integrali impropri: quali sono i criteri di convergenza

Come capire se un integrale improprio converge? E cosa significa che un integrale converge? Ci sono molti risultati che ti permettono di capire subito se un integrale improprio (detto anche integrale generalizzato) è convergente oppure no!

Molti esercizi sugli integrali impropri richiedono di verificare se un integrale improprio converge (cioè se l’area sottesa la curva nell’intervallo è finita) o meno.

In questa lezione troverai i criteri utili per capire subito se l’integrale improprio è convergente oppure no, senza dover calcolare limiti o altro.

• Criterio del confronto integrale
• Alcuni esempi di integrali impropri
• Integrali impropri con gli asintotici
• Cosa sono gli integrali impropri

Criterio del confronto integrale

Teorema del confronto. Sia £$f:I\to \mathbb{R}$£ una funzione integrabile almeno in tutti i punti interni di I.

1. Se £$|f(x)|\le g(x)$£ per ogni £$x\in I$£ e l’integrale improprio di g converge in I, allora converge in I anche l’integrale improprio di f.
2. Se £$0\le g(x) \le f(x)$£ per ogni £$x\in I$£ e l’integrale improprio di g non converge in I, allora non converge in I neanche l’integrale improprio di f.

Questo teorema ci permette quindi di capire il comportamento dell’integrale improprio usando altre funzioni, delle quali conosciamo già il comportamento, semplicemente confrontandole con la funzione che vogliamo studiare.

ESEMPIO: l’integrale improprio £$\int_{1}^{+\infty}\frac{-2+3sen\,x^2}{x^2+1}dx$£ converge?

Non avrebbe senso mettersi a calcolare il limite della funzione integrale (anche se potremmo farlo). Proviamo a confrontare questa funzione con una funzione campione di cui conosciamo già il comportamento:

£$|\frac{-2+3sen\,x^2}{x^2+1}|\le \frac{5}{x^2+1}\le \frac{5}{x^2}$£ per ogni £$x\le 1$£

dove abbiamo usato la disuguaglianza £$|-2+3sen\,x^2|\le |-5|\le 5$£. Ora noi sappiamo che nell’intervallo £$[1,+\infty)$£ le funzioni del tipo £$f_{p}(x)=\frac{1}{x^p}$£ hanno l’integrale improprio convergente se e solo se l’esponente p è maggiore di 1. Nel nostro caso l’esponente è 2, quindi £$\int_{1}^{+\infty}\frac{5}{x^2}dx < +\infty$£. Allora, per il criterio del confronto, vale anche £$\int_{1}^{+\infty}\frac{-2+3sen\,x^2}{x^2+1}dx < +\infty$£.

ESEMPIO: £$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{e^x}dx$£ è convergente. Infatti, in un intorno di infinito, £$\frac{1}{e^x}$£ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto alle funzioni del tipo £$\frac{1}{x^p}, \forall p \in \mathbb{R}$£. Sappiamo che l’integrale improprio di queste funzioni converge in £$[1,+\infty)$£ se e solo se £$p > 1 $£. Quindi vale la maggiorazione:
£$\dfrac{1}{e^x} < \dfrac{1}{x^2} $£
e quindi l’integrale £$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{e^x}dx$£ converge perché converge £$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx$£ per il teorema del confronto.

Alcuni esempi di integrali impropri

Vediamo alcuni integrali impropri e le condizioni che si devono verificare per la convergenza:

• £$f_{p}(t)=\frac{1}{(t-a)^{p}}$£, con £$t\in (a,b]$£. L’integrale converge se e solo se £$p<1$£ cioè £$\int_{a}^{b}f_{p}(t)dt< +\infty \Leftrightarrow p<1$£;
• £$f_{p}(t)=\frac{1}{t^p}$£ in £$[1,+\infty)$£. L’integrale converge se e solo se £$p>1$£ cioè £$\int_{1}^{+\infty}f_{p}(t)dt< +\infty \Leftrightarrow p>1$£;
• £$f_{p,q}(t)=\frac{1}{t^p\ln^{q}t}$£ in £$[M,+\infty)$£ con £$M>1$£. Integrale converge se e solo se £$p>1, \forall q$£ oppure se £$p=1, q>1$£.

Queste tre famiglie di funzioni sono utili per il confronto con le funzioni che ci troviamo a integrare. L’obiettivo è cercare di ricondurci a queste funzioni delle quali conosciamo il comportamento.

Integrali impropri con gli asintotici

Una conseguenza del teorema del confronto è la possibilità di utilizzare il confronto asintotico per verificare la convergenza di un integrale improprio. Infatti, l’utilizzo del confronto tra infiniti/infinitesimi permette di riportarci allo studio di una delle funzioni campione, che usiamo appunto col criterio del confronto per capire il comportamento dell’integrale.

ESEMPIO: l’integrale £$\int_{4}^{+\infty}\frac{x-x^3}{x^6-1}dx$£ converge?
Vediamo prima di tutto che la funzione da integrare è una razionale fratta, continua nell’intervallo di integrazione £$[4,+\infty)$£. Siamo interessati a capire cosa succede a £$+\infty$£.
La funzione da integrare diventa quindi un rapporto tra infiniti e sappiamo che per passare al confronto asintotico, ci basta considerare solo le x al grado maggiore, sia al numeratore che al denominatore:

£$ \dfrac{x-x^3}{x^6-1} \sim \dfrac{-x^3}{x^6}=-\dfrac{1}{x^3}$£.

Ma sappiamo che la funzione £$-\frac{1}{x^3}$£ è integrabile (cioè l’integrale converge) vicino a £$+\infty$£ perché l’esponente della x è 3 >1. Visto che le due funzioni si comportano praticamente allo stesso modo vicino a £$+\infty$£ possiamo dire che anche £$\int_{4}^{+\infty}\frac{x-x^3}{x^6-1}dx$£ converge.

Cosa sono gli integrali impropri

L’integrale di una funzione in un intervallo è un numero che misura l’area della regione di piano compresa tra il grafico della funzione e l’asse x e gli estremi dell’intervallo.

Se l’intervallo è illimitato, oppure se la funzione non è definita in un estremo (o entrambi), può non essere semplice calcolare l’integrale. Infatti l’area potrebbe essere infinita: in questa situazione parliamo di integrale improprio (o integrale generalizzato).

ESEMPIO: calcoliamo l’integrale £$\int_{0}^{1}\frac{1}{x}\,dx$£. Vediamo che la funzione che dobbiamo integrare ha una discontinuità di seconda specie in £$x=0$£. Graficamente, abbiamo un asintoto verticale e l’area sottesa potrebbe essere infinita. Questo è un esempio di integrale improprio.

Nel calcolo di un integrale improprio, possono verificarsi due casi:

• l’integrale improprio ha un valore finito. Ciò significa che, il valore dell’area compresa nell’intervallo, il grafico della funzione e l’asse x è un valore finito (numero reale). In questi casi, diciamo che l’integrale improprio converge;
• l’integrale improprio ha un valore infinito. Ciò significa che, il valore dell’area compresa nell’intervallo, il grafico della funzione e l’asse x è infinita. In questi casi, diciamo che l’integrale improprio diverge.

Quando abbiamo a che fare con un integrale improprio, vogliamo sapere se l’integrale diverge o converge e, in questo caso, calcolarne l’area. Esistono diversi modi e criteri per risolvere questo tipo di esercizi, soprattutto confrontando le funzioni con funzioni campione, di cui conosciamo già il comportamento.