La funzione goniometrica: come studiarla
Ricordi cos’è una funzione goniometrica? Beh sicuramente ti ricorderai delle funzioni seno e coseno che hai usato tanto in trigonometria. Ora però devi tracciare il grafico di una funzione goniometrica. Tranquillo, ci siamo noi ad aiutarti!
Lo studio di una funzione goniometrica può sembrare difficile e pieno di insidie. In realtà le funzioni goniometriche sono molto semplici da studiare.
Questo perché le hai già viste (e ci hai già sbattuto la testa) un sacco di volte. Quindi niente panico!
- Cos'è la funzione goniometrica
- Studio di funzione goniometrica
- Calcolo dei limiti di una funzione
- Derivata prima della funzione, massimi e minimi
- Derivata seconda della funzione, concavità e flessi
Cos’è la funzione goniometrica
Le funzioni goniometriche, fondamentali nella matematica e nelle sue applicazioni, sono funzioni di un angolo e sono comunemente definite in termini di rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo o come le coordinate di punti sulla circonferenza unitaria.
Queste funzioni includono il seno, il coseno, la tangente, e le loro reciproche: la cosecante, la secante e la cotangente. Esse giocano un ruolo cruciale non solo nella trigonometria, ma anche in vari campi come la fisica, l’ingegneria, l’astronomia e molte altre discipline scientifiche.
- Seno (sin): Il seno di un angolo in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto all’angolo e la lunghezza dell’ipotenusa. Nella circonferenza unitaria, corrisponde all’ordinata del punto.
- Coseno (cos): Il coseno di un angolo è il rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente all’angolo e la lunghezza dell’ipotenusa. Nella circonferenza unitaria, rappresenta l’ascissa del punto.
- Tangente (tan): La tangente di un angolo in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il seno e il coseno di quell’angolo, ovvero il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto e quella del cateto adiacente.
Studio di funzione goniometrica
Dominio e simmetrie
Intersezioni con gli assi
Segno della funzione
Iniziamo lo studio della funzione £$f(x)=4sen^{2}x – 2$£. Studieremo questa funzione nell’intervallo £$[0,2\pi]$£.
Il primo passo è ricavare il dominio della funzione (cioè l’insieme delle £$x$£ che hanno immagine) ed eventuali simmetrie. In questo caso però, il dominio è praticamente già dato, perché ci viene chiesto di studiare la funzione in un intervallo. E in questo intervallo la funzione non presenta problemi di definizione (la funzione seno è continua in tutto l’insieme dei numeri reali).
Poi passiamo alla ricerca delle intersezioni con gli assi, che ci servono per iniziare a capire per dove passa il grafico della funzione. Dopo le intersezioni con gli assi, studiamo il segno della funzione. Significa andare alla ricerca degli intervalli di positività e negatività della funzione.
Ricorda di aggiornare il grafico probabile dopo ogni passaggio. In questo modo puoi accorgerti se stai facendo qualche errore di calcolo. Infatti, tutte le informazioni devono essere coerenti e non portare a una contraddizione!
Calcolo dei limiti di una funzione
In questo caso, non serve calcolare i limiti della funzione. Infatti la funzione è definita in un intervallo chiuso e limitato e in questo intervallo, la funzione è definita e continua in tutti i punti dell’intervallo, compresi gli estremi.
Il calcolo dei limiti di una funzione serve per trovare eventuali punti di discontinuità e per vedere cosa fa la funzione all’infinito. Visto che in questo caso non abbiamo nessuno di questi "problemi", possiamo tralasciare il calcolo dei limiti.
Derivata prima della funzione, massimi e minimi
Lo studio della derivata prima della funzione è fondamentale per molti aspetti:
- permette di studiare gli intervalli di monotonia della funzione, dove cioè cresce e dove decresce;
- nei punti in cui si annulla, possiamo trovare i massimi e i minimi della funzione. Ma potrebbero essere anche punti di flesso a tangente orizzontale. Diventa fondamentale lo studio del segno.
- possiamo trovare eventuali punti di non derivabilità della funzione.
Oltre a questo, ci aiuta a definire meglio il grafico probabile della funzione.
Se non ricordi come calcolare la derivata di una funzione, puoi ripassare tutto quello di cui hai bisogno nella lezione sul calcolo delle derivate.
Derivata seconda della funzione, concavità e flessi
Lo studio della derivata seconda ci aiuta a trovare gli intervalli in cui la funzione ha concavità verso l’alto e verso il basso. Nei punti in cui la funzione cambia la concavità ci possono essere dei punti di flesso, ed è importante trovarli in modo da completare e rendere più preciso il grafico della funzione.