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Simboli di analisi matematica: limiti, derivate, integrali

Agostino Sapienza

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Nel mondo dell’analisi matematica, i simboli di successioni, limiti, derivate e integrali rappresentano alcuni dei concetti più importanti.

Questi simboli non solo facilitano la comunicazione di idee complesse in modo conciso, ma permettono anche di comprendere fenomeni di diverso tipo: le successioni ci introducono alla nozione di ordine e progressione infinita; i limiti ci permettono di esplorare il comportamento di funzioni vicino a punti critici; le derivate ci offrono gli strumenti per analizzare il cambiamento istantaneo; e gli integrali ci forniscono il mezzo per accumulare quantità continue.

Tutti questi elementi sono indispensabili nell’analisi matematica, ovvero quel ramo della matematica che si occupa di studiare le proprietà delle varie funzioni, il calcolo dei limiti, delle derivate, degli integrali, delle successioni e il metodo per determinarne il grafico qualitativo.

Per risolvere gli esercizi di analisi matematica devi quindi conoscere il significato dei simboli di successioni, limiti, derivate e integrali. Qui trovi alcuni esempi su come utilizzarli.

Simboli matematici usati nell’analisi di insiemi e successioni

A \partial \text{A} Indica la frontiera dell’insieme Ase A=[0,5[A={0,5} \text{A} \to \text{se A}=[0,5[ \quad \partial \text{A}=\{0,5\}

A \overline{A} Indica la chiusura dell’insieme A \text{A} \to Se A \text{A} è l’insieme dei numeri algebrici, allora A=Q \text{A}= \overline{\mathbb{Q}}

A \stackrel{\:\circ}A Indica la parte interna dell’ insieme A \text{A} \to se A=[a,b) \text{A} =[a,b), A=(a,b)\stackrel{\:\circ}A=(a,b)

D(A) \mathcal{D}(A) Indica il derivato dell’insieme A \text{A} , ovvero l’insieme dei punti di accumulazione di AA=(0,1) \text{A} \to \text{A} =(0,1) allora D(A)=[0,1] \mathcal{D}(A) =[0,1]

conv(A) \text{conv}(A) Indica l’involucro convesso di A\text{A}, ovvero l’intersezione di tutti gli insiemi convessi contenenti A \text{A} \to se C \text{C} è l’insieme delle combinazioni lineari convesse di elementi di A, \text{A}, allora Cconv(A) \text{C} \subseteq \text{conv}(A)

an a_n Indica una successione an=n2 \to a_n=n^2 associa ad ogni numero naturale il suo quadrato

i=1nxi=x1+x2++xn \sum^{n}_{i=1}x_i=x_1+x_2+…+x_n Indica la sommatoria per ii che va da 11 a nn di xii=15i2=12+22++52 x_i \to \sum^{5}_{i=1}i^2=1^2+2^2+…+5^2

i=1nxi=x1x2xn \prod^n_{i=1}x_i=x_1\cdot x_2\cdot…\cdot x_n Indica la produttoria per ii che va da 11 a nn di xin!=i=1nxi=12(k1)k x_i \to n! = \prod^n_{i=1}x_i=1 \cdot 2 …\cdot (k-1) \cdot k

Simboli matematici dei limiti e delle derivate

limnan=a \text{lim}_{\text{n} \to \infty} a_n=a Indica che il limite della successione ana_n, per n n che tende all’infinito, è aa limn1x=0 \to \text{lim}_{\text{n} \to \infty} \frac{1}{x}=0

limxx0+f(x)=l \text{lim}_{{x}\longrightarrow\text{x}_0^+}\text{f}(x)=l Indica che il limite della funzione f f per xx che tende a x0x_0 è llimx1x2+73=2 l \to \lim_{x\rightarrow1}\sqrt[3]{x^{2}+7}=2

Δx \Delta x Indica la differenza tra due valori di xΔy=PΔx+Δxϵ(Δx) x \to \Delta y= P \cdot \Delta x + \Delta x \cdot \epsilon (\Delta x)

dfdf Indica il differenziale totale della funzione fdf(x)(h)=f’(x)h=f(x)dx(h) f \to \text{df(x)(h)=f'(x)h=f(x)dx(h)}

f(x) o ddxf(x) f'(x) \text{ o } \frac{d}{\text{d}x}f(x) Indica la derivata prima di ff calcolata in xcos(x)=-sinxx \to \text{cos}'(x)=\text{-sinx}

f"(x) o d2dx2f(x) f"(x) \text{ o } \frac{d^2}{\text{d}x^2}f(x) Indica la derivata seconda di ff calcolata in xcos"(x)=-cosx x \to \text{cos}"(x)=\text{-cosx}

fx(x,y) \frac{\partial f}{\partial x} (x,y) Indica la derivata prima parziale di ff rispetto a xx calcolata in (x,y)fx(x,y)=10x+8 (x,y) \to \frac{\partial f}{\partial x} (x,y)=10x+8

f \nabla f Indica il gradiente della funzione specificata f(x,y)=fx(x,y),fy(x,y) \to \nabla f (x,y)= \frac{\partial f}{\partial x} (x,y), \frac{\partial f}{\partial y} (x,y)

Simboli matematici degli integrali

f(x)dx \int f(x)dx Indica l’integrale indefinito di ff, cioè l’ insieme delle primitive di f2x+5dx f \to \int \sqrt{2x+5} dx

abf(x)dx \int^b_a f\,(x)dx Indica l’integrale tra aa e bb della funzione f01x1x24dx f \to \int^1_0 \frac{x-1}{x^2} -4 dx

a+f(x)dx \int^{+\infty}_a f(x) dx Indica un integrale improprio 1+x(x2+5)3dx= \to \int^{+\infty}_1\frac{x}{\sqrt{(x^2+5)^3}}dx=

Af(x,y)dxdy \iint_A f(x,y)dx dy Indica un integrale doppio della funzione ff sull’insieme A[0,2].[0,3](x2+y)dxdyA \to \iint_{[0,2].[0,3]}(x^2+y) dxdy

Af(x,y,z)dxdydz \iiint_A f(x,y,z) dxdydz Indica un integrale triplo della funzione ff sull’insieme AAevx2z2dxdydzA \to \iiint_Ae^v\sqrt{x^2-z^2}dxdydz