Triangoli e poligoni inscritti e circoscritti alla circonferenza

La geometria è il linguaggio con cui la matematica descrive il mondo fisico che ci circonda. In questo articolo, ci concentriamo su tre importanti componenti di questo linguaggio: la circonferenza, i triangoli e i poligoni regolari. Questi elementi geometrici sono fondamentali per la nostra comprensione dello spazio e delle forme che occupano, e sono strettamente interconnessi tra loro come scoprirai dopo aver letto questa lezione.

In questo articolo vedremo come i triangoli e i poligoni regolari possono essere circoscritti a una circonferenza, creando figure geometriche di sorprendente bellezza e simmetria. Pronti? Allora cominciamo!

• Circonferenza, triangoli e poligoni regolari: le basi della geometria
• Cosa sono i triangoli e i poligoni circoscritti a una circonferenza
• Come calcolare il raggio di una circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolo
• Come calcolare i lati dei poligoni regolari inscritti e circoscritti
• Interrogazione su rapporti tra circonferenza, triangoli e poligoni regolari: le possibili domande
• Esercizio sui poligoni regolari circoscritti

Circonferenza, triangoli e poligoni regolari: le basi della geometria

Iniziamo con il ripassare cosa sono i vari elementi che tratteremo oggi. La circonferenza è una delle forme geometriche più fondamentali. Una circonferenza è una curva piana chiusa i cui punti sono tutti equidistanti da un punto fisso, noto come il centro. Questa distanza è chiamata raggio. Il diametro, che è il doppio del raggio, attraversa il centro da un punto sulla circonferenza all’altro. La circonferenza ha una simmetria perfetta, con ogni punto lungo la sua curva alla stessa distanza dal centro.

Il triangolo, invece, è la figura geometrica più semplice nel piano, ed è formata da tre segmenti di linea che si intersecano a tre punti non allineati. Questi tre punti formano i vertici del triangolo, e i segmenti di linea sono i lati. Ogni triangolo ha tre angoli interni, la cui somma è sempre 180 gradi.

Infine, un poligono regolare è un poligono in cui i lati hanno tutti la stessa lunghezza e gli angoli interni sono tutti uguali. I poligoni regolari sono caratterizzati da una simmetria perfetta. I più semplici esempi di poligoni regolari sono il triangolo equilatero (un poligono con tre lati uguali) e il quadrato (un poligono con quattro lati uguali).

Cosa sono i triangoli e i poligoni circoscritti a una circonferenza

Quando parliamo di triangoli o poligoni circoscritti a una circonferenza, ci riferiamo a figure geometriche che hanno tutti i loro vertici sulla circonferenza. Questo significa che la circonferenza passa attraverso tutti i vertici del poligono. Tale posizione crea una relazione unica tra il poligono e la circonferenza, portando a proprietà geometriche interessanti.

Ad esempio, un triangolo circoscritto a una circonferenza è noto come un triangolo circoscritto. È possibile dimostrare che l’ortocentro, il baricentro, il circoncentro e l’incentro di un triangolo circoscritto sono coincidenti. Allo stesso modo, un poligono regolare circoscritto ha un cerchio circoscritto, che tocca ogni vertice del poligono.

Come calcolare il raggio di una circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolo

In una circonferenza iscritta in un triangolo la misura del raggio è uguale al rapporto tra l’area del triangolo e il semiperimetro: £$ r=\dfrac{A}{p}$£

Per dimostrare questa formula possiamo scomporre il triangolo £$ABC$£ in tre triangolini unendo i vertici con il centro £$O$£ della circonferenza. In questo modo, l’area è la somma delle tre aree, ma i triangolini hanno tutti la stessa altezza, uguale al raggio.

In una circonferenza circoscritta al triangolo per trovare la misura del raggio £$R$£ possiamo usare la formula

£$R=\dfrac{a \cdot b \cdot c}{4A}$£

Per dimostrare questa formula applichiamo il primo criterio di similitudine dei triangoli, possiamo farlo ragionando sulle proprietà dei triangoli inscritti in una circonferenza ed i teoremi delle corde di una circonferenza.

Come calcolare i lati dei poligoni regolari inscritti e circoscritti

I solidi regolari possono sempre essere inscritti o circoscritti ad una circonferenza. Usando i risultati di prima, possiamo sempre calcolare i lati dei poligoni regolari conoscendo il raggio £$r$£ della circonferenza iscritta o il raggio £$R$£ della circonferenza circoscritta. Ecco le formule più utili.

Triangolo equilatero: £$ l= R \sqrt{3}=2r\sqrt{3}$£:
possiamo dimostrare questa formula con le due formule precedenti.

Quadrato: £$l=R\sqrt{2}=2r$£:
la dimostriamo ricordando la formula della diagonale e ragionando sulla circonferenza inscritta in un quadrato.

Esagono: £$l=R=\frac{2 \sqrt{3}}{3}r $£:
anche questa formula possiamo dimostrarla ragionando sulla circonferenza inscritta nell’esagono e sulle proprietà dei triangoli equilateri.

Interrogazione su rapporti tra circonferenza, triangoli e poligoni regolari: le possibili domande

Ora che hai visto come trovare i raggi delle circonferenze inscritte e circoscritte ai triangoli e come calcolare la misura dei lati dei poligoni regolari inscritti e circoscritti non ti resta che prepararti per l’interrogazione di domani!

Il tuo insegnante, infatti, potrebbe chiederti di mostrare come circoscrivere un triangolo o un poligono regolare a una circonferenza, o di spiegare le proprietà uniche di queste figure, oppure ancora potrebbe chiederti di risolvere problemi che coinvolgono queste figure. Rileggi la nostra lezione prima di andare all’interrogazione!

Esercizio sui poligoni regolari circoscritti

Sfida

Soluzione

Nuove coppette di gelato a forma esagonale! Sapendo i lato dell’esagono quanto misura il raggio? Prova a risolvere la sfida sui poligoni regolari circoscritti ad una circonferenza e poi corri ad allenarti con gli esercizi!