Problema con equazioni, monomi e polinomi
Le equazioni, i monomi e i polinomi rappresentano elementi fondamentali, specialmente nel vasto campo dell’algebra. Questi concetti non solo formano la base per una comprensione più profonda di teorie matematiche avanzate, ma trovano anche applicazioni pratiche in diverse aree, dalla fisica all’ingegneria, rendendo imprescindibile la loro comprensione.
Un’equazione stabilisce che due espressioni matematiche rappresentano lo stesso valore, seppur espresse in forme differenti. Queste espressioni sono separate da un segno di uguale (=), creando una sorta di bilancia che mantiene in equilibrio i valori su entrambi i lati. La bellezza delle equazioni risiede nella loro capacità di racchiudere relazioni complesse in una forma concisa e gestibile.
Passando ai monomi, questi sono espressioni algebriche costituite da un numero, chiamato coefficiente, moltiplicato per una o più variabili elevate a potenze intere non negative. La semplicità dei monomi, con la loro struttura lineare, li rende gli elementi costitutivi di costruzioni matematiche più complesse. Quando si combinano due o più monomi, si ottiene un polinomio. I polinomi possono essere visti come collane formate da diverse “perle" monomiali, collegate insieme dall’addizione o dalla sottrazione, e sono classificati in base al grado, determinato dalla potenza più alta della variabile presente.
Vediamo insieme un problema che ha come protagonista un’equazione con dei monomi e dei polinomi!
- Testo del problema con equazioni, monomi e polinomi
- Soluzione del punto a)
- Soluzione del punto b)
- Soluzione del punto c)
Testo del problema con equazioni, monomi e polinomi
a) Risolvi la seguente equazione:
$$ – 1 + 12 \cdot (x+2) – 15 \cdot (x-1) = -4 + 8(x + 8) $$
b) Esprimi sotto forma di espressione algebrica letterale l’area della figura e riduci i termini.
c) Risolvi il seguente problema dopo averlo tradotto in un’equazione:
Determina un numero sapendo che la somma tra i suoi £$ \dfrac 34 $£ e i £$ \dfrac 57 $£ del suo successivo è uguale ai £$ \dfrac 32 $£ del numero stesso aumentati di £$ 2 $£.
Soluzione del punto a)
a) Risolvi la seguente equazione:
$$ – 1 + 12 \cdot (x+2) – 15 \cdot (x-1) = -4 + 8(x + 8) $$
Per prima cosa svolgiamo i prodotti per liberarci delle parentesi:
$$ – 1 + 12x+24 – 15x+15= -4 + 8x + 64 $$
Spostiamo i termini con l’incognita al primo membro e quelli rimanenti al secondo. Ricordati che data un’equazione, ne otteniamo una equivalente se trasportiamo un termine da una parte all’altra dell’uguale cambiandogli di segno!
$$12x-15x-8x=1-24-15-4+64$$
Ora possiamo sommare i termini simili.
$$-11x=22$$
Quindi, dividendo entrambi i termini per £$ -11 $£:
$$x=-2$$
La soluzione dell’equazione è £$-2$£.
Soluzione del punto b)
b) Esprimi sotto forma di espressione algebrica letterale l’area della seguente figura e riduci i termini.
L’area della figura è data dall’area del quadrato grande (di lato £$2a+3$£) a cui va sottratta l’area del rettangolo di lati £$a+1$£ e £$a-1$£. Quindi:
$$(2a+3)^2- (a+1) \cdot (a-1) $$
Per risolvere l’espressione iniziamo svolgendo i quadrati e i prodotti tra le parentesi. Fai attenzione ai prodotti notevoli! La prima parentesi è un quadrato di binomio, cioè £$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 $£; le ultime due parentesi sono nella forma £$(A+B)\cdot(A-B)$£ (somma per differenza), che equivale a £$(A^2-B^2)$£.
$$4a^2+12a+9-(a^2-1)$$
Svolgiamo i prodotti per liberarci delle parentesi. Ricorda che il £$–$£ davanti alla parentesi sottintende il coefficiente £$-1$£.
$$4a^2+12a+9-a^2+1$$
Ora possiamo sommare i termini simili:
$$3a^2+12a+10$$
L’area della figura è di £$ 3a^2 + 12a + 10 $£.
Soluzione del punto c)
c) Risolvi il seguente problema dopo averlo tradotto in un’equazione:
Determina un numero sapendo che la somma tra i suoi £$ \dfrac 34 $£ e i £$ \dfrac 57 $£ del suo successivo è uguale ai £$ \dfrac 32 $£ del numero stesso aumentati di £$ 2 $£.
Indichiamo con £$x$£ il numero che stiamo cercando. Scriviamo tutte le parti del problema utilizzando la nostra £$ x $£:
- “i suoi £$ \frac 34 $£“: £$\dfrac 34 x $£
- “i £$ \frac 57 $£ del suo successivo": £$ \dfrac57(x+1) $£
- “i £$ \frac 32 $£ del numero stesso aumentati di £$ 2 $£“: £$ \dfrac32 x +2$£
Ora che abbiamo tutti i pezzi che ci servono, scriviamo la nostra equazione:
$$\dfrac 34 x + \dfrac57(x+1)=\dfrac32 x +2$$
Risolviamola! Ricordati che moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero o un’espressione letterale diversi da 0, otteniamo un’equazione equivalente. Quindi possiamo moltiplicare entrambi i membri per il £$ \text{m.c.m.}(2,4,7) = 28$£, così da togliere il denominatore alle frazioni che compaiono.
$$21x+20(x+1)=42x+56$$
Spostiamo i termini con l’incognita al primo membro, e quelli rimanenti al secondo.
$$21x+20x-42x=56-20$$
Ora possiamo sommare i termini simili.
$$-x=36$$
Quindi:
$$x=-36$$