Problema da svolgere sul calcolo delle probabilità
Nell’articolo che segue, ripasseremo insieme il calcolo delle probabilità, una branca della matematica che si occupa di studiare e quantificare la casualità e l’incertezza. Il calcolo delle probabilità fornisce gli strumenti per analizzare quanto sia probabile che un certo evento si verifichi in un contesto definito, permettendoci di prendere decisioni informate in situazioni di incertezza.
L’essenza del calcolo delle probabilità risiede nel suo approccio sistematico alla previsione degli eventi. Questo campo si basa su principi matematici rigorosi per modellare situazioni del mondo reale, dalla previsione del tempo alle decisioni economiche, dalla ricerca scientifica ai giochi d’azzardo. La capacità di calcolare la probabilità di un evento ci consente non solo di comprendere meglio il mondo intorno a noi, ma anche di agire in modo più informato e deliberato.
Nell’affrontare un problema di probabilità, è cruciale comprendere le differenze tra eventi indipendenti e dipendenti, nonché il concetto di eventi mutuamente esclusivi. Vediamo insieme un primo problema da risolvere.
- Testo del problema di calcolo delle probabilità
- Soluzione del punto 1)
- Soluzione dei punti 2) e 3)
- Soluzione del punto 4)
- Soluzione del punto 5)
Testo del problema di calcolo delle probabilità
L’emofilia, mancanza di alcuni fattori della coagulazione del sangue, è una malattia genetica che dipende da un difetto di un allele recessivo localizzato sul cromosoma sessuale X.
1) Indica con X il cromosoma normale e con X* il cromosoma portatore di questa anomalia. Completa la tabella indicando quali sono i fenotipi corrispondenti ai genotipi indicati, specificando anche genere maschile e femminile.
2) Rappresenta con una tabella a doppia entrata l’incrocio tra una donna sana ed un uomo malato. Descrivi il genotipo ed il relativo fenotipo dei figli, calcolandone la probabilità in frazione ed in percentuale.
3) Rappresenta poi in una seconda tabella a doppia entrata l’incrocio tra una donna portatrice sana ed un uomo sano. Descrivi il genotipo ed il relativo fenotipo dei figli, calcolandone la probabilità in frazione ed in percentuale.
4) Confronta ora i due casi analizzati precedentemente e scegli in quale dei due incroci è meno rischioso generare una figlia portatrice sana:
- quando la madre è sana
- quando il padre è sano
5) Qualche anno fa, in Italia, le persone malate di emofilia erano 6000. La malattia si manifesta in queste varianti: grave, media gravità e leggera gravità. Sapendo che la distribuzione della malattia presenta le seguenti percentuali:
grave 10%, media 35%, leggera 55%
Calcola il numero di persone che presentavano la malattia in forma media.
Soluzione del punto 1)
1) Indica con X il cromosoma normale e con X* il cromosoma portatore di questa anomalia. Completa la tabella indicando quali sono i fenotipi corrispondenti ai genotipi indicati, specificando anche genere maschile e femminile.
Ricorda che la presenza o meno dell’allele Y determina il sesso dell’individuo. Quindi nella colonna GENERE, inseriremo “Maschio" quando la colonna GENOTIPO indicherà XY, “Femmina", quando la colonna GENOTIPO indicherà XX. Ricorda inoltre che un individuo può essere (rispetto all’emofilia):
- sano, se genotipicamente non presenta alcun difetto sul cromosoma X e fenotipicamente non manifesta la malattia;
- malato, se genotipicamente presenta un difetto sul cromosoma X e fenotipicamente manifesta la malattia.
Attenzione! Un individuo maschio si dice malato se presenta il difetto solo sul cromosoma X (cioè X*Y); mentre un individuo femmina si dice malato se e solo se presenta il difetto su tutti e due i suoi cromosomi (cioè X*X*); - portatore sano, se genotipicamente presenta un difetto solo su uno dei suoi cromosomi X e fenotipicamente non manifesta la malattia.
Attenzione! Un individuo maschio non può mai essere portatore sano poichè presenta una coppia di cromosomi diversi fra loro. Solo un individuo femmina può essere portatrice sana!
Quindi:
Soluzione dei punti 2) e 3)
2) Rappresenta con una tabella a doppia entrata l’incrocio tra una donna sana ed un uomo malato. Descrivi il genotipo ed il relativo fenotipo dei figli, calcolandone la probabilità in frazione ed in percentuale.
Nella tabella dobbiamo incrociare una donna sana XX con un uomo malato X*Y:
| X | X | |
| X* | XX* | XX* |
| Y | XY | XY |
La tabella ci mostra che:
- il 50% £$\left(\frac12\right)$£ dei figli è portatrice sana;
- il restante 50% £$\left(\frac12\right)$£ dei figli è sano.
Notiamo inoltre che:
- il 100% £$(1)$£ dei maschi è sano;
- il 100% £$(1)$£ delle femmine è portatrice sana.
3) Rappresenta poi in una seconda tabella a doppia entrata l’incrocio tra una donna portatrice sana ed un uomo sano. Descrivi il genotipo ed il relativo fenotipo dei figli, calcolandone la probabilità in frazione ed in percentuale.
| X* | X | |
| X | XX* | XX |
| Y | X*Y | XY |
La tabella ci mostra che:
- il 25% £$\left(\frac14\right)$£ dei figli è portatore sano;
- il 50% £$\left(\frac12\right)$£ dei figli è sano;
- il restante 25% £$\left(\frac14\right)$£ è malato.
Notiamo inoltre che:
- il 50% £$\left(\frac12\right)$£ dei maschi è sano;
- il 50% £$\left(\frac12\right)$£ dei maschi è malato;
- il 50% £$\left(\frac12\right)$£ delle femmine è portatrice sana;
- il 50% £$\left(\frac12\right)$£ delle femmine è sana.
Soluzione del punto 4)
4) Confronta ora i due casi analizzati precedentemente e scegli in quale dei due incroci è meno rischioso generare una figlia portatrice sana:
- quando la madre è sana
- quando il padre è sano
Nei casi analizzati abbiamo visto che in entrambi i casi la probabilità di avere una figlia (malata, sana o portatrice) è del 50%.
In particolare, quando la madre è sana, il 100% delle femmine è portatrice sana; mentre quando il padre è sano, il 50% delle femmine è portatrice sana e il 50% è sana. Quindi, senza bisogno di ulteriori calcoli, osserviamo che nel secondo caso è meno rischioso avere una figlia portatrice sana (il 50% in meno rispetto al primo caso).
Soluzione del punto 5)
5) Qualche anno fa, in Italia, le persone malate di emofilia erano 6000. La malattia si manifesta in queste varianti: grave, media gravità e leggera gravità. Sapendo che la distribuzione della malattia presenta le seguenti percentuali:
grave 10%, media 35%, leggera 55%
calcola il numero di persone che presentavano la malattia in forma media.
Se le persone malate di emofilia erano 6000, per calcolare il numero di persone che presentavano la malattia in forma media basta calcolare il 35% di 6000. Quindi:
$$\frac{35}{100} \cdot 6000 =35\cdot60=2100$$
Le persone malate di emofilia in forma media erano 2100 su 6000. I dati relativi alla forma grave e leggera della malattia non sono necessari al calcolo della soluzione.